Grenzwerte und Tangenten

Question

Aufgabe:

Sei f : [0,∞) → R,f(x) := √x.
(a) Zeigen Sie, dass für a > 0 der Grenzwert \( \lim\limits_{x\to a} \)  \( \frac{f(x)−f(a)}{x-a} \)  existiert und berechnen Sie 
diesen.
(b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (4, 2).
(c) Zeigen Sie, dass \( \lim\limits_{x↘0} \)  \( \frac{f(x)−f(0)}{x-0} \) = ∞.

Problem/Ansatz:

weiß nicht wie ich a zeigen soll; b hab ich schon  ( y=1/4 x +1) und bei c weiß ich auch nicht wie das gehen soll.

Answer 1

a)

Setze doch ein und bilde den Grenzwert:

\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\) Wie lautet hierfür der Definitionsbereich?

b)

-

c) Auch hier, einsetzen:

\(\lim\limits_{x \searrow 0}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\lim\limits_{x \searrow 0}\dfrac{\sqrt{x}}{x}\)

Das kannst du umschreiben zu \(\lim\limits_{x \searrow 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Hierbei gilt \(\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}=0\).

Jetzt hast du also einen Bruch, bei dem der Nenner immer kleiner wird, aber der Zähler gleich bleibt.

Z.B. \(\dfrac{1}{0.5}=2,\, \dfrac{1}{0.1}=10,\, \dfrac{1}{0.01}=100\). Man sieht, der Wert wird immer größer.

Wenn jetzt also der Nenner gegen null strebt, muss das Ergebnis also lauten \(\lim\limits_{x \searrow 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\infty\)