y‘-y=4x-1
Die DGL kannst Du durch Variation der Konstanten lösen.
1.) y‘-y=0 homogene Gleichung
Lösung durch Trennung der Variablen
y‘-y=0
y‘ =y
dy/dx= y
yh= C e^x
2.) Setze C=C(x)
yp =C(x) *e^x
yp '= C'(x) *e^x +C(x) *e^x
3.) Setze yp und yp ' in die DGL ein und berechne C(x)
C'(x) *e^x +C(x) *e^x -C(x) *e^x = 4x-1
C'(x) *e^x = 4x-1
C'(x) = (4x-1)/e^x
C(x) = -e^(-x) (4 x + 3)
4.)yp= C(x) e^x ->C(x) einsetzen
yp= e^x *-e^(-x) (4 x + 3) = -4x-3
5.)y=yh +yp
Lösung: y(x) = C1 e^x - 4 x - 3