Differentialgleichung: y‘-y=4x-1

Question

Aufgabe:

y‘-y=4x-1

Problem/Ansatz:

Kann mir wer dabei helfen?

Comments

War das so gemeint?

y‘-y=4x-1

Habe das erste y nun auch klein gemacht.

Wenn es gross sein sollte, musst du den Zusammenhang von Y und y noch erklären.

Answer 1

y‘-y=4x-1

Die DGL kannst Du durch Variation der Konstanten lösen.

1.) y‘-y=0  homogene Gleichung

Lösung durch Trennung der Variablen

y‘-y=0

y‘ =y

dy/dx= y

y_h= C e^x

2.) Setze C=C(x)

y_p =C(x) *e^x

y_p '= C'(x) *e^x +C(x) *e^x

3.) Setze yp und yp ' in die DGL ein und berechne C(x)

C'(x) *e^x +C(x) *e^x -C(x) *e^x = 4x-1

C'(x) *e^x  = 4x-1

C'(x)   = (4x-1)/e^x

C(x) = -e^(-x) (4 x + 3)

4.)yp= C(x) e^x ->C(x) einsetzen

yp=  e^x *-e^(-x) (4 x + 3)  = -4x-3

5.)y=yh +yp

Lösung: y(x) = C₁ e^x - 4 x - 3

Answer 2

Hallo

das ist eine lineare, inhomogene  Dgl mit konstanten Koeffizienten. Du löst zuerst die homogene y'=y allgemein, (Trennung der Variablen, oder die Lösung einfach sehen) und addierst eine spezielle  Lösung der inhomogenen  die du mit dem Ansatz y=ax+b findest .

Gruß lul

Answer 3

Erst mal homogen machen:

y ' - y = 0

y ' = y

Also  y = C*e^x .

y‘-y=4x-1

<=>  y ' = y + 4x - 1

Damit das mit den 4x-1 klappt, muss also hinter

dem C*e^x noch sowas wie   ax+b dran

Also Test mit    y = C*e^x  +  ax+b

  ==>   y ' =    C*e^x  +  a

Einsetzen gibt

  C*e^x  +  a  =    C*e^x  +  ax+b  + 4x - 1

Und damit das immer stimmt muss a=-4 und b=-3 sein.