Was ist dimℝ(⟨M1⟩ℝ)? Zeigen Sie dass die Menge M2 den gleichen ℝ-Teilraum von ℝ3 erzeugt wie M1.

Question

Hier dürfen Sie wissen, dass die Menge M₁ := {(1, 1, 0),(0, 0, −2),(2, −1, 0)} ⊆ ℝ³ linear unabhängig über ℝ ist.

Was ist dim_ℝ(⟨M₁⟩_ℝ)? Zeigen Sie durch (ggf. mehrfache) Anwendung eines Austauschresultats, dass die Menge M₂ := {(1, −2, 0),(1, −2, −2),(1, 1, 0)} ebenfalls ℝ-linear unabhängig ist und den gleichen ℝ-Teilraum von ℝ³ erzeugt wie M₁.

Answer 1

3 linear unabhängige erzeugen einen 3-dim Raum

{(1, 1, 0),(0, 0, −2),(2, −1, 0)}

Den 3. ersetzen durch

dritter minus erster gibt

{(1, 1, 0),(0, 0, −2),(1, −2, 0)}

den 2. ersetzen durch

zweiter plus dritter gibt

{(1, 1, 0),(1, -2, −2),(1, −2, 0)}

ersten und dritten tauschen

{(1, −2, 0),(1, −2, −2),(1, 1, 0)}

Comments

Was ist dimℝ(⟨M1⟩ℝ)? 

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siehe meine erste Zeile.  dim=3

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Die kommst du darauf ?:)

Danke für die schnelle Antwort.

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Wenn 3 linear unabhängige Vektoren einen

Raum erzeugen, dann sind sie sowohl

ein Erzeugendensystem als auch linear unabhängig

also eine Basis.  Die Anzahl der

Vektoren in einer Basis ist definiert als  die Dimension

des Raumes.  siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Mathematik)#Hamel-Dimension_(Dimension_eines_Vektorraumes)