Zeigen Sie: Die Menge aller ausgeglichenen Abbildungen auf X ist ein Teilraum des Vektorraums ℝ^x

Question

Es sei ∅ ≠ X ⊆ ℤ×ℤ eine endliche Menge. Ein x=(x₁,x₂)∈X heißt innerer Punkt von X, wenn
Y(x):={(x₁−1,x₂),(x₁+1,x₂),(x₁,x₂−1),(x₁,x₂+1)},
eine Teilmenge von X ist. Sonst heißt x ein Randpunkt von X. Eine Abbildung f:X→R heißt ausgeglichen, wenn

f(x)= 1/4 ∑  f(y)
          y∈Y(x)

für alle inneren Punkte x∈X gilt.

Zeigen Sie:
Die Menge aller ausgeglichenen Abbildungen auf X ist ein Teilraum des Vektorraums ℝ^x

Können Sie diese Frage beweisen? Die konnte ich nicht lösen. Vielen Dank!

Comments

Verwende das Unterraum Kriterium, das Du in Eurem Lehrmaterial findest, notfalls auch im WEB.

Answer 1

Zeige:

1. Es gibt eine ausgeglichene Abbildung.
2. Wenn \(f\) und \(g\) ausgeglichene Abbildungen sind, dann ist auch \(f+g\) eine ausgeglichene Abbildung.
   
3. Wenn \(f\) eine ausgeglichene Abbildungen ist und \(\alpha\in \mathbb{R}\) ist, dann ist auch \(\alpha \cdot f\) eine ausgeglichene Abbildung.
   

Comments

Wie kann ich zeigen, dass es eine ausgeglichene Gleichung gibt?
Kann ich f(x) so schreiben:

f(x) = 1/4* ((y-1,y) + (y+1,y) + (y, y-1) + (y,y+1))

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Wie kann ich zeigen, dass es eine ausgeglichene Gleichung gibt?

Ich weiß nicht was eine ausgeglichene Gleichung ist.

Kann ich f(x) so schreiben:
f(x) = 1/4* ((y-1,y) + (y+1,y) + (y, y-1) + (y,y+1))

Nein. Es ist nicht definiert, was y ist.

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Korrektur:

ausgeglichene Abbildung* (wie in der Frage definiert)

dann wie würden Sie f(x) schreiben?

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Zeige dass es eine ausgeglichene Abbildung.gibt indem du eine ausgeglichene Abbildung angibts.

dann wie würden Sie f(x) schreiben?

Ich weiß nicht was du mit "f(x) schreiben" meinst.

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Okay. Also ich habe hier nicht verstanden, was genau f(y) und f(x) ist.

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Es sei ∅ ≠ X ⊆ ℤ×ℤ eine endliche Menge.

Zum Beispiel

        \(\begin{aligned}X = \{&(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),\\&(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),\\&(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)\}\end{aligned}\)

Y(x):={(x₁−1,x₂),(x₁+1,x₂),(x₁,x₂−1),(x₁,x₂+1)},

Dann ist

        \(Y(4,8) = \{(3,8),(4,7),(4,9),(5,8)\} \subseteq X\),

also ist \((4,8)\) ein innerer Punkt von \(X\). Im Gegensatz dazu ist

        \(Y(3,7) = \{(2,7),(3,6),(3,8),(4,7)\} \nsubseteq X\)

wegen \((2,7)\notin X\), also ist \((3,7)\) ein Randpunkt von \(X\).

Eine Abbildung f:X→R

Zum Beispiel

        \(f(x_1,x_2) = {x_1}^2 + {x_2}^2\).

heißt ausgeglichen, wenn
f(x)= 1/4 ∑  f(y)
        y∈Y(x)
für alle inneren Punkte x∈X gilt.

Damit \(f\) ausgeglichen wäre, müsste

        \(\begin{aligned} f(4,8) & =\frac{1}{4}\sum_{y\in Y(4,8)}f(y)\\ & =\frac{1}{4}\left(f(3,8)+f(4,7)+f(4,9)+f(5,8)\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left(3^{2}+8^{2}\right)+\left(4^{2}+7^{2}\right)+\left(4^{2}+9^{2}\right)+\left(5^{2}+8^{2}\right)\right)\\ & =81 \end{aligned}\)

sein. Tatsächlich ist aber \(f(4,8) = 4^2 + 8^2 = 80\neq 81\). Also ist \(f\) nicht ausgeglichen.

Ich hoffe es ist jetzt etwas klarer, worum es in der Aufgabenstellung geht. Insbesondere ist

        \(f(x) =\frac{1}{4}\sum\limits_{y\in Y(x)}f(y)\)

keine Funktionsgleichung, sondern eine Bedingung, die an die Funktionswerte von inneren Punkten des Definitonsbereiches von \(f\) gestellt wird, damit \(f\) ausgeglichen ist.