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Titel der Frage: Abbildung injektiv oder surjektiv?
f1: \( \{M \subseteq \mathbb{N}: M \text{ endlich} \} \rightarrow \mathbb{N}: M \rightarrow |M| \)
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Injektivität: Diese Abbildung ist nicht injektiv. Injektivität bedeutet, dass keine zwei unterschiedlichen Elemente des Definitionsbereichs auf dasselbe Element des Zielbereichs abgebildet werden. Hier gibt es jedoch unterschiedliche Teilmengen mit derselben Kardinalität (Anzahl der Elemente). Zum Beispiel, die Mengen {1, 2} und {3, 4} sind unterschiedlich, aber beide haben die Kardinalität 2. Das bedeutet, beide wären unter \(f1\) auf die Zahl 2 abgebildet, was die Definition von Injektivität verletzt.
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Surjektivität: Diese Abbildung ist surjektiv. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element des Zielbereichs mindestens einmal als Bild eines Elements des Definitionsbereichs auftritt. In diesem Fall ist der Zielbereich \(\mathbb{N}\), und für jede natürliche Zahl \(n\), kann eine Menge mit genau \(n\) Elementen (z.B., die Menge der ersten \(n\) natürlichen Zahlen) gefunden werden, deren Kardinalität \(n\) ist. Daher ist jedes Element aus \(\mathbb{N}\) als Bild unter \(f1\) vertreten.
f2: \( \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}: x \rightarrow x^{2} \)
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Injektivität: Diese Abbildung ist nicht injektiv. Der Grund dafür ist, dass sowohl positive als auch negative Zahlen, wenn quadriert, das gleiche Ergebnis liefern. Zum Beispiel sind \(2\) und \(-2\) unterschiedlich, aber \(2^2 = 4\) und \((-2)^2 = 4\), was zeigt, dass zwei verschiedene Elemente aus \(\mathbb{Z}\) auf dasselbe Element in \(\mathbb{N}\) abgebildet werden.
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Surjektivität: Diese Abbildung ist nicht surjektiv. Der Zielbereich ist \(\mathbb{N}\), aber es gibt keine ganze Zahl \(x\), die quadriert eine negative Zahl oder Null ergibt (achten Sie darauf, dass 0 in einigen Definitionen zu \(\mathbb{N}\) gehört, aber nicht in anderen. Wenn \(0\) zu \(\mathbb{N}\) gehört, ist die Funktion immer noch nicht surjektiv bezüglich negativer Zahlen, aber sie bildet auf \(0\) ab, da \(0^2 = 0\)). Jedoch sind alle Quadrate positiv, und daher können nicht alle natürlichen Zahlen als Bild unter \(f2\) erreicht werden, wenn \(\mathbb{N}\) bei \(1\) beginnt.
f3: Sei \(p\) eine Primzahl : \( f_3: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1,2, \ldots, p-1\}: n \rightarrow \) Rest bei der Division durch \( p \)
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Injektivität: Diese Abbildung ist nicht injektiv. Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, aber nur eine begrenzte Anzahl von möglichen Resten (\(0\) bis \(p-1\)), müssen zwangsweise verschiedene Zahlen denselben Rest haben, wenn sie durch \(p\) geteilt werden.
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Surjektivität: Diese Abbildung ist surjektiv. Bei der Division durch eine Primzahl \(p\) kommen als Reste alle Zahlen von \(0\) bis \(p-1\) vor. Das bedeutet, für jeden möglichen Rest kann mindestens eine natürliche Zahl gefunden werden, die, wenn sie durch \(p\) geteilt wird, genau diesen Rest ergibt. Daher wird jeder Wert im Zielbereich \(\{0,1,2, \ldots, p-1\}\) durch mindestens eine natürliche Zahl im Definitionsbereich abgebildet.
