V und V´ zwei K-Vektorräume und A ⊆ V und A ⊆ V affine Unterräume.
Zu zeigen: Für eine lineare Abbildung f: V → V ist f (A) ein affiner Unterraum von V
Das heißt nach Def: ( z.B. dort
https://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum#Definition
Es gibt ein w ∈V ' und einen Unterraum A ' von V ' mit f(A) = w + A ' #
Bew.: Sei also f: V → V` eine lineare Abbildung . Da A ⊆ V affiner Unterraum
von V ist, gibt es v∈V und ein U⊆ V mit A = v+U
Für jedes x ∈ A gilt also dann x = v+u mit u ∈ U
Sei nun also y ∈ f(A) ==> Es gibt ein x ∈ A y = f(x)
wegen x = v+u mit u ∈ U gilt f(x) = f(v+u) = f(v) + f(u) .
mit w=f(v) gilt also y = w + f(u) und damit y ∈ w + f(U)
und f(U) ist ja ein Unterraum von V ' . Damit ist # gezeigt.
Entsprechend die anderen Teile.
