Affine Unterräume

Question

Aufgabe:
Seien V und V´ zwei K-Vektorräume und A ⊆ V und A ⊆ V affine Unterräume. Zeigen Sie:

1. Für eine lineare Abbildung f: V → V ist f (A) ein affiner Unterraum von V und f ^-1 (A) ein affiner Unterraum von V.

2. Falls V = V sind A + A und A ∩ A affine Unterräume von V.

3. A x A ist ein affiner Unterraum von V x V, wobei man letzteren mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation al K- Vektorraum auffasst.

Problem/Ansatz:

also als Ansatz habe ich mir gedacht

∃ a ∈ V U⊆V UR

A= a + U = { a + u: u ∈ U}

Jetzt weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Wenn ihr gute Tipps habt für die jeweiligen Teilaufgaben, wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

V und V´ zwei K-Vektorräume und A ⊆ V und A ⊆ V affine Unterräume.

Zu zeigen:  Für eine lineare Abbildung f: V → V ist f (A) ein affiner Unterraum von V

Das heißt nach Def: ( z.B. dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum#Definition

Es gibt ein   w ∈V ' und einen Unterraum A ' von V ' mit f(A) = w + A '  #

Bew.:  Sei also   f: V → V` eine lineare Abbildung  . Da  A ⊆ V affiner Unterraum

von V ist, gibt es v∈V und ein U⊆ V  mit  A = v+U

Für jedes x ∈ A gilt also dann  x = v+u  mit u ∈ U

Sei nun also y ∈ f(A) ==> Es gibt ein x ∈ A y = f(x)

wegen  x = v+u  mit u ∈ U gilt f(x) = f(v+u) = f(v) + f(u) .

mit w=f(v) gilt also  y  = w + f(u)  und damit y  ∈ w + f(U)

und f(U) ist ja ein Unterraum von V ' .  Damit ist # gezeigt.

Entsprechend die anderen Teile.

Comments

wegen  x = v+u  mit u ∈ U gilt f(x) = f(v+u) = f(v) + f(u) .

mit w=f(u) gilt also  y  = w + f(u)  und damit y  ∈ w + f(U)

Müsste das nicht w=f(v) sein?

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Ach ja, ich korrigiere das.

Vielen Dank !

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Danke für deine Antwort, hat mir sehr geholfen!

Hättest du vielleicht auch noch eine Idee zu 2. oder 3. ?

Answer 2

Hast du mittlerweile die vollständige Aufgabe? Ich brauch eins zu eins dieselbe Lösung?