Zeigen, das die Menge dM auf der Menge M verschwindet

Question

Aufgabe: Sei M ⊆ ℝ eine nicht-leere Menge und definiere die Funktion d_M : ℝ→ℝ durch $$ d_{M}(x)=\inf \{|x-y| : y \in M\} $$

1. Zeigen Sie, dass d_M auf der Menge M verschwindet, d.h. d_M (x) = 0 für alle x ∈ M.

2. Sei hier M=ℤ

Skizzieren Sie die Funktion d_ℤ  auf dem Intervall(-3.3). (Müsste hier nicht trotzdem d_M stehen? Hier wird ja M als ℤ definiert)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatz, wie man diese Aufgabe lösen kann. Kennt ihre ähnliche Aufgaben? Bzw. wonach sollte ich am besten googeln?

Danke :)

Answer 1

d_M (x) = 0 für alle x ∈ M , gilt, weil dann die Menge

{ |x-y| : y∈M } enthält wegen des Betrages keine negativen Zahlen,

weil aber x ∈ M enthält die Menge aber |x-x| = 0 , also ist

es eine Menge nicht negativer Zahlen, die die 0 enthält

und damit ist das inf = 0 , ja sogar ist 0 das Minimum.

2. Müsste hier nicht trotzdem dM stehen? Hier wird ja M als ℤ definiert)

Nein, wegen M=ℤ ist auch d_M = d_ℤ .

Berechne mal ein paar Beispiele:

d_ℤ(2) = 0 wegen a) und 2 ∈ ℤ , entsprechend für -1, 0 , 1, 2 .

Dazwischen, etwa  d_ℤ(1,2) wäre der kleinste Wert, der als Abstand von 1,2

zu einer ganzen Zahl angenommen wird, also    dℤ(1,2) = 0,2.

Und bei   dℤ(1,8) = 0,2 da liegt eben die 2 näher dran.

Wenn also x von 1 bis 2 wandert, wandert  dℤ(x) von 0 über o,5 zurück zu 0.

Sieht so aus: jedenfalls von -3 bis 1 geht entsprechend weiter

~draw~ linienzug(-3|0 -2.5|0.5 -2|0 -1.5|0.5 -1|0 -0.5|0.5 0|0 0.5|0.5 1|0 );zoom(2) ~draw~

Comments

Tatsächlich konntest du mir die Aufgabe verständlich erklären!