Ableitung von Produkten 100-fach

Question

Aufgabe:
Entscheide ob die Reihe konvergiert oder divergiert

Gegeben \( f(x) = x^2*sin(2x)\)
Berechnen Sie \( f^{100}(x) \) mit \( (f*g)^{n}(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\binom{n}{k}f^{n-k}(x)g^k(x)} \)

Problem/Ansatz:

Das Resultat ist

\( 2^{100}*x^2*sin(2x) - 100*2^{100}*x*cos(2x) - 2475*2^{100}*sin(2x) \)

Ich weiss anscheinend nicht, wie man die Formel richtig anwendet. Könnte mir jemand die Schritte aufzeigen?

Danke

Answer 1

Wo hast du denn deine Regel her?

Hier ein Auszug aus https://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel#H%C3%B6here_Ableitungen

 f(x) = x^2·SIN(2·x)

f¹⁰⁰(x) = (100 über 0)·(x^2)·(2^100·SIN(2·x)) + (100 über 1)·(2·x)·(2^99·(-COS(2·x))) + (100 über 2)·(2)·(2^98·(-SIN(2·x))) +

f¹⁰⁰(x) = 2^100·x^2·SIN(2·x) - 100·2^100·x·COS(2·x) - 2445·2^100·SIN(2·x)

Comments

Ich verstehe die Formel immer noch nicht und muss einfach raten anhand deiner Schritte. Soll "k" die Ableitung sein and "n-k" einfach eine Potenz?
Woher kommt das 2^100 bis 2^98 die ganze Zeit? Wieso wird das alles zu 2^100 am Schluss?

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Berechne mal folgende Terme. Dabei bedeutet [...]ⁿ die n-te Ableitung von [...]

(100 über 0)·[x^2]⁰·[SIN(2·x)]¹⁰⁰ =

(100 über 1)·[x^2]¹·[SIN(2·x)]⁹⁹ =

(100 über 2)·[x^2]²·[SIN(2·x)]⁹⁸ =

(100 über 3)·[x^2]³·[SIN(2·x)]⁹⁷ =

Wie geht die Reihe weiter? Was kannst du über die entstehenden Terme sagen?