Komplexe Gleichung mit z^4 und z^2

Question

Aufgabe:

z⁴ + z² + 1=0

Problem/Ansatz:

Wie ist die Vorgehensweise hier? Habe probiert z² zu substituieren bin aber nicht weiter gekommen.

für alle Lösungen

Comments

z^2=x ist schonmal die richtige Idee.

x^2+x+1=0

Diese quadratische Formel ist nun zu lösen. Das geht z.B mit pq-Formel.

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Tipp: z⁴ + z² + 1 = (z² - z + 1)·(z² + z + 1).

Answer 1

Die Idee mit der Substitution ist richtig.

Answer 2

Habe probiert z2 zu substituieren   Gute Idee

u^2 + u + 1 =0

u^2 + u + 1/4 =  -3/4

( u + 1/2)^2 =  -3/4

u + 1/2 = ±i*√3  / 2

u  =     - 1/2 ±i*√3  / 2

Jetzt noch die komplexen Wurzeln !

z= ( 3^(3/4) / 6 ) * ( √( √2  ±  1 )  ± i * √( √2  ±  1 ) )