Konvergenz von Reihe zur Folge a_n:= (n!) / (n^n) untersuchen

Question

Aufgabe:$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n! }{n^n}} $$

Problem/Ansatz:

habe das mit dem Quotientenkriterium gemacht

Für den Grenzübergang n-->∞ kommt 1 raus.

Wie soll man weiter vorgehen?

Comments

Alternativ gilt für alle \(n>2\)$$\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^n\frac kn=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\prod_{k=3}^n\frac kn\le\frac2{n^2}\prod_{k=3}^n1=\frac2{n^2}.$$Damit hat man eine eine konvergente Majorante.

---

Hier zum Vergleich noch https://www.mathelounge.de/452471/konvergenz-quotientenkriterium-prufen-richtig-gerechnet mit Kehrwert der Summanden.

Answer 1

ich habe 1/e erhalten und das ist <1  und konvergiert.

Comments

\(\large\frac1{\operatorname e}<0\,?\)

---

wie kommst du von (n / n+1) ^n auf 1/e ?

---

Es gilt allgemein:

es muß natürlich 1/e< 1 lauten.

Answer 2

Hallo dann hast du was falsch gemacht,  bei mir kommt 1/e raus, nicht 1, zeige deine Rechnung.

Gruß lul