Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal

Question

Aufgabe:

Beweise Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix sind orthogonal (betrachtet wird ein Vektorraum R^n mit Standardskalarmultiplikation)

Problem/Ansatz:

Ich habe den Beweis auf einigen Seiten gefunden, aber ohne Kommentare konnte ich den Verfassern gar nicht folgen. Zum Beispiel hier https://resources.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/MFI2/kap46.pdf auf Seite 2. Dann gilt: ... Ich verstehe die Notation teilweise nicht. Das Beispiel danach ist mir klar, aber ich verstehe dadurch den Beweis nicht besser. Wie kommt er zum Beispiel auf λ₁v_1^Tv₂ = ?

Ich habe die Formel für die Eigenvektoren, mir der ich hier bestimmt arbeiten kann A*v = λ*v

Answer 1

beachte    A^T = A  für symmetrische Matrizen ,

 (A * v)^T  =  v^T * A^T  (1) ,

(λ * A) * B  =  A * (λ * B)  (2)

sowie das Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation [ Klammern kann man (auch in Gedanken :-)) beliebig setzen oder weglassen ].

Für Vektoren u und v entspricht das Standardskalarprodukt  u * v den Matrizenmultiplikationen

u^T * v  =  u * v^T

Dann gilt:

           λ₁ * v₁  =  A * v₁    (Definition Eigenvektor v₁)

 Auf beiden Seiten Transponieren:

⇒       ( λ₁ * v₁ )^T   =  (A * v₁)^T

⇒₍₁₎     λ₁ * v₁^T   =    v₁^T * A^T     | * v₂

⇒        λ₁ * v₁^T  * v₂   =  v₁^T * A * v₂ 

⇒         λ₁ *  v₁^T  *  v₂  =  v₁^T  *  A * v₂   

⇒        λ₁ *  v₁^T  *  v₂   -   v₁^T * λ₂ * v₂  =  0       [ =  _, Definition EV v₂]

⇒₍₂₎        λ₁ *  v₁^T  *  v₂   -   λ₂ *  v₁^T *  v₂  =  0 

Ausklammern:

⇒        (λ₁ - λ₂) * v₁^T  *  v₂  =  0                      [ ≠ 0 , da Eigenwerte verschieden ]

⇒         v₁^T *  v₂  =  0  ⇔   v₁ und  v₂   sind orthogonal

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Arbeit Wolfgang! Sehr gut zum Nachvollziehen. Habe es verstanden und werde mir jetzt nochmal die anderen Beweise angucken und ausgehend von deinem Beweis Schritt für Schritt vergleichen.  Schönen Tag

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immer wieder gern :-)

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@wolgang

Müsste aber heißen u^T * v  =  v^T *u  oder ist es egal? Sonst hat man die Matrizenmultiplikation 3x1 1x3 und da würde doch eine 3x3 Matrix rauskommen.

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Warum eigentlich in dieser Zeile = 0 ?

[ =  , Definition EV v2]

Ah okay, hab es gesehen ... sorry .