Vervollständigen Sie die Abbildungsmatrix so, dass dimℝ(Kern(σ)) = 1 ist und größe der Dimension

Question

Seien V := ℝ⁴ und σ ∈ End_ℝ(V ) eine Abbildung. Weiter

sei eine geordnete R-Basis Bˆ := (b1, b2, b3, b4) von V gegeben,
wobei b1 := (1, 0, 0, −1), b2 := (0, 0, 1, 0), b3 := (0, 1, 1, 0) und b4 = (0, 0, 0, 1) ist.
Gegeben ist eine unvollständige Abbildungsmatrix, nämlich

M(σ, B, ˆ Bˆ) = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & & 1 \\ 0 & 0&1&0 \\ 1&0&1&1\\0&0& &  \end{pmatrix} \)

a) Schreiben Sie die Bilder von b2 und b3 unter σ hin.

b) Vervollständigen Sie die Abbildungsmatrix so, dass dim_ℝ(Kern(σ)) = 1 ist. Wie groß ist dann die Dimension des Zeilenraumes der Matrix? Bitte begründen!

Answer 1

b2 ^σ = M * (0;1;0;0)^T = (0;0;0;0)^T

Also ist das Bild von b2 der 0-Vektor.

b2 ^σ = M * (0;0;1;0)^T

wenn man die freien Stellen mit a,b,c bezeichnet ist das

= (a;1;1;b)^T = a*b1 + b2+b3 + b*b4 .

Egal wie die freien Stellen belegt werden, die Matrix

hat immer Rang 3, also dim_ℝ(Kern(σ)) = 1 .