Stetigkeit (Zwischenwert- und Mittelwertsatz)

Question

Aufgabe:

Es seien a, b, c, d ∈ R mit a < b und c < d.
a)  Es seien f, g: [a, b] → R stetige Funktionen mit f(a) > g (a) und f(b) < g (b). Zeige, dass es einen Punkt c ∈ (a, b) mit f (c) = g (c) gibt.
b)  Es sei f: [a, b]→[c, d] eine streng monoton wachsende stetige Funktion mit f(a) =c und f(b) =d.
Zeige, dass f bijektiv ist.
c)  Zeige, dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung nicht allgemein für stetige (möglicherweise nicht in jedem Punkt differenzierbare) Funktionen gilt. Das heißt, dass es eine stetige Funktion f: [a, b] → R gibt, so dass kein c ∈[a, b] existiert, für welches f differenzierbar ist und zusätzlich

\( \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \) = f'(c)
Problem/Ansatz:

a) Nun ja, eine Funktion ist stetig, wenn bei einer Änderung von x, sich f(x) genau so sehr ändert. Hier sind jetzt f (a) und f (b) stetig und g(a) und g (b) auch. Wenn f (c) = g (c) gilt, müssten f und g ja im Punkt c übereinander liegen. Dann ist der Abstand von f(c) und g(c) der gleiche, or?

b) Nunja, bijektiv heißt ja dass jeder f[a,b]-Wert genau ein [c,d]-Wert zugeordnet ist. Dann sind alle Punkte aber nicht gleichermaßen voneinander entfernt

c) Keine Ahnung. Würde ich das zeigen, dass es kein c von [a,b] exisitert, steht das doch im Widerspruch zu Aufgabenteil a).

:(

Answer 1

Hallo

Du verwendest Alltagssprache statt genauer Definition. Du schreibst selbst, dass du den ZWS benutzen sollst oder willst. betrachte in a) die stetige Funktion h(x)=f(x)-g(x) und weise darauf den ZWS an.

in b musst du natürlich auch die Vors verwenden, also die Monotonie, schreib die Def. von Monotonie hin und  f(a)=c usw, daraus folgere  dann, aber nicht mit saloppen Worten sondern  genauen Definitionen. zu jedem Punkt x1 in  [a,b] gibt es genau einen Punkt y1 aus [c,d] mit y1=f(x1) wieder ZWS benutzen.

c) such dir ein Gegenbeispiel etwa f(x)=|x|

Gruß lul