Aufgabe: Die Frage kommt aus der Finanzmathematik. Ich habe einen jährlichen Einzahlungsbetrag, der jährlich verzinst wird und zusätzlich jährlich dynamisch ansteigt.
Sei: jährliche Einzahlung=E, Dynamik in Prozent+1=d, Zins in Prozent +1=z, Laufzeit= L, aktuelles Jahr (ausgehend von Jahr Null bis L)=j
Dann kann ich die Endsumme wie folgt für jedes Jahr berechnen:
Jahr 0: E*d^0*z^j
Jahr 1: E*d^1*z^(j-1)
Jahr 2: E*d^2*z^(j-2)
...
Jahr n: E*d^n*z^(j-n)
...
Jahr L: E*d^J*z^0
Wie kann ich die Addition der Jahresbeträge Jahr 1 + Jahr 2 + ... + Jahr n + ... + Jahr L einfacher zusammenfassen, und wie funktioniert die Auflösung?
Problem/ Ansatz: Die richtige Formel ist
$$ E^{*}\left(z^{\wedge}(L+1)-z^{*} p^{\wedge} L\right) /(z-p) $$
sofern z<>p. Aber wie leitet man sie her?