Potenzen mit unterschiedlichen, aber regelmässigen Exponenten addieren

Question

Aufgabe: Die Frage kommt aus der Finanzmathematik. Ich habe einen jährlichen Einzahlungsbetrag, der jährlich verzinst wird und zusätzlich jährlich dynamisch ansteigt.
Sei: jährliche Einzahlung=E, Dynamik in Prozent+1=d, Zins in Prozent +1=z, Laufzeit= L, aktuelles Jahr (ausgehend von Jahr Null bis L)=j
Dann kann ich die Endsumme wie folgt für jedes Jahr berechnen:
Jahr 0: E*d^0*z^j
Jahr 1: E*d^1*z^(j-1)
Jahr 2: E*d^2*z^(j-2)
...
Jahr n: E*d^n*z^(j-n)
...
Jahr L: E*d^J*z^0

Wie kann ich die Addition der Jahresbeträge Jahr 1 + Jahr 2 + ... + Jahr n + ... + Jahr L einfacher zusammenfassen, und wie funktioniert die Auflösung?


Problem/ Ansatz: Die richtige Formel ist

$$ E^{*}\left(z^{\wedge}(L+1)-z^{*} p^{\wedge} L\right) /(z-p) $$

sofern z<>p. Aber wie leitet man sie her?

Answer 1

Hallo

deine Summe kannst du umschreiben in E*z^j*((d/z)^0+(d/z)1+...(d/z)^n die Klammer ist eine geometrische Reihe. kennst du die und ihre Summe? $$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$$

Gruß lul

Comments

... nicht ganz. Ich habe mein Abiturswisse dazu mal wieder ausgegraben, aber es reicht wohl nicht mehr, sich da innerhalb eines Abends einzulesen.

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Hallo

 dachte ich schon, deshalb hab ich ja die Formel hingeschrieben, dein q=d/z dein n=L

Gruß lul