Aufgabe:
Filterung für Zeitreihen
Zeitreihen werden je nach Aufgabenstellungen einer Vorfilterung unterzogen. Üblicherweise sind Daten, die mit einem realen Sensor erzeugt werden mit Rauschen überlagert. Das Signal soll deshalb geglättet werden. Hierzu wird der Datensatz einer Tiefpassfilterung unterzogen. Diese wird üblicherweise mit Hilfe eines FIR-Filters durchgeführt. Es sei angenommen, dass ein Filter – ausgelegt als Binomial-Filter 3. Ordnung – ausreichend ist.
Die Differenzgleichung lautet
$$(n \in \mathbb{N}; x,y \in \mathbb{R}):$$
$$y[n]=\frac{1}{8}\cdot(x[n]+3\cdot x[n-1]+3\cdot x[n-2]+x[n-3])$$
a) Binomial-Filter
Beschreiben Sie die typischen Eigenschaften und mathematischen Besonderheiten eines Binomial-Filters in mindestens 2 ganzen Sätzen.
b) Impulsantwort
Bestimmen Sie die diskrete Impulsantwort h[n].
c) Komplexer Frequenzgang
Berechnen Sie mit Hilfe der Diskrete Fourier-Transformation den komplexen Frequenzgang H[k].
$$Hinweis (n, k, M \in \mathbb{N_+} ; x,X \in \mathbb{R}):$$
$$X[k]=\sum \limits_{n=0}^{M-1} x[n] e^{-j2\pi\frac{k}{M}n}$$
d) Amplituden- und Phasengang
Bestimmen Sie den diskreten Amplitudengang | H[k] | und diskreten Phasengang φ[k].
Problem/Ansatz:
a) ist nicht so wichtig. Habe es zur Vollständigkeit aufgeführt. Aber b) bis d) verstehe ich überhaupt nicht. Kann mir das mal bitte einer zeigen? Danke.
