Globale Extremstellen berechnen e-Funktion mit 2 Variablen?

Question

Aufgabe: e^(x y) - x² - y²

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion jeweils nach nach fx und fy abgeleitet:

$$ \frac{\partial f}{\partial x}=e^{x y} \cdot y-2 x \stackrel{!}{=} 0 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}=e^{x y} \cdot x-2 y \stackrel{!}{=} 0 $$

Wenn ich jetzt in fy x = 0 setze bekomme ich auch für y = 0 heraus. Jedoch weiß ich anhand der Aufagebenstellung:

"Tipp: Es gibt drei Lösungen. Eine davon kann man fast raten, die anderen beiden nicht.", dass P(0/0) nur die halbe Miete ist. Meine Versuche fx oder fy  nach x bzw. y aufzulösen scheitern daran, dass ich nicht weiß, wie ich bezüglich des e's vorgehen muss. Ich wäre froh darüber wenn jemand in der Lage wäre mir hier mit dem Rechenweg auszuhelfen, da es mir vor allem darum geht diesen Aufgabentypen zu verstehen.

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Deregate

Comments

Lagrange? Wo ist der Lagrange-Multiplikator?

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Bei der Aufgabe geht es nur darum die stationären Punkte zu berechnen

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...... verschoben

Answer 1

die Funktion ist bezüglich x und y symmetrisch (wenn du den x- mit dem y-Wert vertauschst, bekommst du die gleichen Funktionswerte. Damit sollte es Extrempunkte dort geben, wo x=y gilt.

Comments

Danke, das mit der Symmetrie ergibt Sinn. Wobei ich jedoch zugegeben muss, dass ich leider nicht in der Lage bin daraus auf weitere Extremstellen zu schließen

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Unter der Annahme x=y vereinfacht sich die Funktion zu f(x)=e^(x²)-2x² .

Davon sollte man Extrema berechnen können.

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Wunderbar. Jetzt habe ich's verstanden. Danke für die schnelle Antwort

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g(x)=e^x²-2x² .

Davon sollte man Extrema berechnen können.

Die Funktion g hat zwar die 3 lokalen Extrempunkte

 H(0|0) , T_1,2(±√(ln(2)) | ±√(ln(2))

(0|0) , (√(ln(2)) | √(ln(2))  und  (-√(ln(2)) | -√(ln(2)) sind auch stationäre Punkte von f(x,y).

Aber nur (0,0) ist eine lokale Maximalstelle von f(x,y).