Sind nur Matrizen mit Minimalpolynom minpol(x)=(lambda-x)^1 zu sich selber ähnlich?

Question

Hallo  an alle,

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch und hoffe ihr könnt mir helfen. Es geht um folgenden Satz:

Aufgabe:

Alle Matrizen mit Minimalpolynom minpol_A(x)=(λ-x)¹ sind zu sich selber ähnlich. Beweise, dass es keine anderen Matrizen gibt, die zu sich selber ähnlich sind.

Aber sind nicht alle quadratischen Matrizen zu sich selber ähnlich? Oder habe ich einen Denkfehler?

Eine Matrix A ist doch genau dann ähnlich zu sich selber, wenn eine invertierbare Matrix P ∈ Gl(n,n) existiert, so dass A=P^-1AP. Ich kann doch nun für A jede Matrix einsetzen, dann wäre P die Einheitsmatrix und somit wären alle Matrizen zu sich selber ähnlich. Wo liegt mein Denkfehler?

Danke schon mal für jede Antwort!

Liebe Grüße :) 

Answer 1

... somit wären alle Matrizen zu sich selber ähnlich. Wo liegt mein Denkfehler?

Die Ähnlichkeit (~) von quadratischen Matrizen ist eine Äquivalenzrelation:

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Matrix)

Deshalb ist  ~  eine reflexive Relation   →   A ~ A

Gruß Wolfgang