Erläuterung eines Beweises

Question

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für n ∈ ℕ  bewiesen werden soll:

Es gibt {\displaystyle n!} n! Möglichkeiten eine {\displaystyle n} n-elementige Menge anzuordnen.

1. Induktionsanfang:

Für eine einelementige Menge gibt es nur eine Anordnungsmöglichkeit. Da außerdem {\displaystyle 1!=1} 1! = 1 ist, ist die Aussageform für n=1 wahr.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

Es gibt n! Möglichkeiten eine  n} n-elementige Menge anzuordnen.

2b. Induktionsbehauptung:

Es gibt (n+1)! Möglichkeiten eine n+1-elementige Menge anzuordnen.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Für eine  (n+1)-elementige Menge gibt es {\displaystyle n+1} n+1 Möglichkeiten die erste Position zu besetzen. Für jede dieser Möglichkeiten müssen die restlichen Positionen besetzt werden, wobei es nach Induktionsvoraussetzung dafür genau n! Möglichkeiten gibt. Damit ist die Gesamtzahl aller möglichen Anordnungen einer(n+1)-elementigen Menge genau (n+1)  n! = (n+1)!.

Nach der Indukationsbehauptung versteh ich es nicht mehr vorallem beim Indukationsschritt, kann das mir einer etwas eifnacher bitte erklären???

Answer 1

Hallo

 für eine 3 Elemente Menge gibt es 3!=6  Möglichkeiten der Anordnung. jetzt nehmen ich ein 4 des Element dazu , das kann ich an die erste zweite, dritte und 4 te Stelle der vorher 6 Anordnungen stellen , also habe ich 4 Möglichkeiten zu den 6 dazu. dasselbe Argument gilt für n  und n+1 statt 3 und 4. Wenn du das immer nich nicht verstehst, dann schreib halt mal die 6 Anordnungen der 3 auf

123, 132 , 213, 231, 312, 321- jetzt kommt die 4 dazu wo kann sie stehen? bei allen 6 an der ersten Stelle . bei allen 6 an der zweiten Stelle usw. damit hast du aus deiner 6 er Reihe 4 6er Reihen gemacht.  also insgesamt 6*4=24

oben wird etwas anders argumentiert, du hast mit 4 Zahlen 4 Möglichkeiten für die erste Stelle , die dahinter haben dann jeweils noch 6 Möglichkeiten, wieder 4*6.

Gruß lul

Answer 2

Indukltionsschritt

In jeder der n! Anordnungen von n Elementen gibt es n+1 Plätze, das nächste Element zuzufügen (an den mit _ gekennzeichneten Stellen):  _a₁_a₂_a₃_ ...  _a_n-1_a_n_. Damit gibt es n!·(n+1)=(n+1)! mögliche Anordnungen von n+1 Elementen.

Comments

wie kann ich es aufschreiben ohne viel Text also mehr mathematisch

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Hallo

 da es um Anordnungen geht, brauchst du eben Text, der sich darauf bezieht. Nicht alles kann man mit Formeln schreiben, in allen Mathebücher steht mehr Text als Formeln.

Gruß

lul

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Achso Dankeschön