Mithilfe der Definition zeigen ob f(x) = (x-2) / (x+2) differenzierbar bei 0 ist

Question

Aufgabe:

Ich muss mithilfe der Definition zeigen ob f(x) = (x-2) / (x+2) differenzierbar bei 0 ist .

Definition und Ansatz sind unten zu sehen

Comments

Steht in der Fragestellung, dass du die Definition der Ableitung an der Stelle x=0 verwenden sollst?

Die Differeinzierbarkeit ist gezeigt, wenn du die Ableitung bestimmen kannst. D.h. es genügt die Ableitung an der Stelle x=0 auszurechnen um zu zeigen, dass die Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist.

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Vielen Dank für die Antwort aber die Frage hat sich nun erledigt :)

Answer 1

entweder allgemein, indem du die Ableitung berechnest: \(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{x+h-2}{x+h+2}-\frac{x-2}{x+2}}{h}=\dfrac{4}{(2+x)^2} \longrightarrow f'(0)=1\)

oder, wenn du explizit zeigen willst, dass f in 0 differenzierbar ist:

\(\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{h-2}{h+2}-\frac{-2}{2}}{h}=1\)