Aufgabe:
Ich muss mithilfe der Definition zeigen ob f(x) = (x-2) / (x+2) differenzierbar bei 0 ist .
Definition und Ansatz sind unten zu sehen
Steht in der Fragestellung, dass du die Definition der Ableitung an der Stelle x=0 verwenden sollst?
Die Differeinzierbarkeit ist gezeigt, wenn du die Ableitung bestimmen kannst. D.h. es genügt die Ableitung an der Stelle x=0 auszurechnen um zu zeigen, dass die Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
Vielen Dank für die Antwort aber die Frage hat sich nun erledigt :)
entweder allgemein, indem du die Ableitung berechnest: f′(x)=limh→0x+h−2x+h+2−x−2x+2h=4(2+x)2⟶f′(0)=1f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{x+h-2}{x+h+2}-\frac{x-2}{x+2}}{h}=\dfrac{4}{(2+x)^2} \longrightarrow f'(0)=1f′(x)=h→0limhx+h+2x+h−2−x+2x−2=(2+x)24⟶f′(0)=1
oder, wenn du explizit zeigen willst, dass f in 0 differenzierbar ist:
limh→0f(0+h)−f(0)h=limh→0h−2h+2−−22h=1\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{h-2}{h+2}-\frac{-2}{2}}{h}=1h→0limhf(0+h)−f(0)=h→0limhh+2h−2−2−2=1
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