geschlossener von n abhängiger term von n finden

Question

die Aufgabe lautet: Eine Folge sei rekursiv durch a0 = 1 und an+1 = 3an + 1 definiert. Finden sie einen geschlossenen von n abhängigen Ausdruck für an !

ich verstehe die Fragestellung nicht !

Soll ich die rekursive Darstellung in eine explizite umwandeln ?

handelt es sich um eine geometrische Folge, wenn nicht, um welche dann ?

Muss ich Induktion anwenden ?


Ich verstehe es einfach gar nicht !


Bitte um hilfe ! Danke

Answer 1

hi

die fragestellung ist: finde einen geschlossenen ausdruck für das n-te glied der folge.

also sowas wie a_n = 3ⁿ(a₀ + 3n + 3 ). das ist jetzt ein wenig ins blaue geschossen, soll nur das prinzip zeigen.

welcher typ folge das ist, kann man so noch gar nicht sagen, wenn man nicht gerade jeden tag mit folgen zu tun hat.

induktion brauchst du jedenfalls nicht.

stelle ein paar folgenglieder auf und versuch eine gesetzmäßigkeit zu entdecken. wenn du sie findest, hast du die aufgabe gelöst.

ich würde da so vorgehen:

a₀ = 1

a₁ = 3a₀ + 1

a₂ = 3a₁ + 1

a₃ = 3a₂ + 1

und dann alle a_n schritt für schritt bis a₀ runter ersetzen und dann sehen ob sich ein geschlossener ausdruck findet.

Comments

wenn du selbst noch etwas knobeln willst, darfst du jetzt NICHT GUCKEN! :p
$$a_0 = 1$$
$$a_1 = 3a_0 + 1$$
$$a_2 = 3^2a_0 + 3^1 + 1$$
$$a_3 = 3^3a_0 + 3^2 + 3^1 + 1$$
$$a_4 = 3^4a_0 + 3^3 + 3^2 + 3^1 + 1$$
$$a_n = 3^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}3^n$$

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das hat mir jetzt sehr geholfen !  

Ich hab noch eine kleine Anmerkung: in der Lösung steht: an = 1/2*(3^{n+1} -1 ).

Bedeutet das, es gibt immer mehrere Möglichkeiten für eine Lösung solcher Aufgaben  ?! Mir erscheint Deine Lösung wesentlich nachvollziehbarer.

Vielen Dank nochmal !

Matthias

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hallo

ich habe noch die summe drin. das ist noch kein geschlossener ausdruck. für große n würde man sich ja nen wolf schreiben, dagegen ist 1/2*(3ⁿ⁺¹-1 ) schön handlich.

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Es ist meine erste Aufgabe zu diesem Gebiet - ich komme nicht drauf wie ich jetzt den Faktor 1/2 da rauslesen soll bzw. komme ich nicht auf die komplette Lösung !

Kannst du mir nochmal helfen um mir zu zeigen wie der Weg überhaupt geht - ich verstehe rein gar nichts sonst würde ich nicht fragen... dein Lösungsweg bis jetzt ist mir klar aber das Endergebnis verstehe ich nicht. Wie geht man bei solchen Aufgaben vor ?

Vielen Dank für die Hilfe !

Matthias

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um von

a_n = 3ⁿa₀ + 3^n-1 + ... + 3² + 3¹ + 3⁰

auf einen geschlossenen ausdruck zu kommen, brauchst du nur noch die summenformel für die partialsumme einer geometrischen reihe(hast du sie erkannt? ;-)) zu benutzen.

da a₀ = 1 ist, kann man schreiben

a_n = 3ⁿ + 3^n-1 + ... + 3² + 3¹ + 3⁰ = (1-3ⁿ⁺¹)/(1-3) = (1-3ⁿ)/(-2) = (-1)(1-3ⁿ)/((-1)(-2))

= (-1+3ⁿ⁺¹)/2 = 1/2*(3ⁿ⁺¹-1)

:-)

 

lg