Terme faktorisieren: 7xy+45-9y-35x

Question

Aufgabe:

$$7xy+45-9y-35x$$ Soll faktorisiert werden.

Problem/Ansatz:

$$\quad 7xy+45-9y-35x$$

$$\Leftrightarrow 7xy-35x+45-9y$$

$$\Leftrightarrow 7x(y-5) +9(5-y)$$

$$\Leftrightarrow 7x(y-5) +9(-1) (5-y)$$

$$\Leftrightarrow 7x(y-5)-9(y-5)$$

$$\Leftrightarrow (y-5) (7x-9)$$

Es gibt beim faktorisieren eine Sache, die ich noch nie verstanden habe und ich wäre dankbar, wenn mir es jemand auf eine sehr simplistische Art erklären könnte, damit ich es verstehe. Nämlich habe ich folgendes Problem: Wieso wird manchmal beim faktorisieren mit (-1) multipliziert? Ich weiß ja das Vorzeichen umgedreht werden dürfen, da sich dadurch nichts am Ergebnis ändert aber wieso muss hier die 9 mit (-1) multipliziert werden? Mir erschließt sich das leider überhaupt nicht und ich verstehe auch den Gedankengang dahinter nicht bzw. wie man an der Stelle sieht: "Ja, hier muss ich mit (-1) multiplizieren, um das Ergebnis zu kriegen"

Answer 1

In der dritten zeile von unten ist das problem. Vor dem plus gibt es eine Klammer die heißt (y-5) und hinter dem plus gibt es eine Klammer die heißt (5-y). In beiden kommt 5 und y vor. Dennoch steht in den klammern nicht das gleiche, weil die Vorzeichen vertauscht sind. Will man jetzt diese Klammer rausziehen also ausklammern, dann muss man erst in einer der beiden klammern die Vorzeichen vertauschen. Das tut man indem man sie mit -1 mal nimmt (gedanklich). Dadurch ändern sich die Vorzeichen. Da man aber den term nicht verändern darf, schreibt man anschließend ein *(-1) davor damit wieder alles ist wie vorher. Danach darf man die Klammer ausklammern.

Übrigens ist es so wie es oben steht nicht richtig. Da steht schon die *(-1) und der dritten zeile von unten, aber in der Klammer dahinter wurden die Vorzeichen nicht umgedreht. Damit hätte man den term verändert. Indem Moment wo man das (-1) hinzufügt, muss man auch die Vorzeichen in der Klammer umdrehen.

Comments

Also ich habe deine Antwort in etwa so verstanden:

$$\quad 7x(y-5)+9(5-y)$$

$$\Leftrightarrow 7x(y-5)+9(-1)(5+y)$$

$$\Leftrightarrow 7x(y-5)-9(y-5)$$

Hab ich das so richtig verstanden? Mir erschließt sich aber trotzdem nicht, warum sich die Glieder vertauscht haben, also warum war es nötig war mit (-1) zu multiplizieren, um aus (5-y) (y-5) zu machen. Die Glieder wurden ja nicht vertauscht, weil man mit (-1) multipliziert hat, sondern, weil man die Differenz einfach anders angeordnet hat, oder verstehe ich da etwas grundlegend falsch? Würde mich freuen, wenn du mir das genauer erklären könntest, weil ich nur ungerne Regeln anwende, die ich selbst nicht richtig verstehe.

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Habe ich das so richtig verstanden?

Nein leider nicht. In der ersten Zeile steht in der Klammer 5-y. Diese nimmst gedanklich mit Minus 1 mal und erhältst (-5+y). Das ist das gleiche wie (y-5). Soweit so gut, jetzt haben wir die gleiche Klammer wie vorne, was ja das Ziel war. Aber wir dürfen ja den term nicht verändern, deswegen machen wir das quasi wieder rückgängig indem wir die Klammer mit (-1) multiplizieren und bekommen so 9*(-1)*(y-5).

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Jetzt habe ich es verstanden,

Answer 2

Die Regel (mit der hier falsch umgegangen wurde) lautet: Vertauscht man die Glieder einer Differenz, ändert sich ihr Vorzeichen. Formal: a - b = - (b - a)