Extremwertprobleme Fenster: Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis

Question

Aufgabe:

Ein Fenster besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der umfang des Fensters soll 6m betragen. Für welches x wird der Flächeninhalt des Fensters am größten? Gib diesen max. Flächeninhalt an.

(X ist die unterste strecke und der halbkreis ist an ihr angebracht)

Problem/Ansatz:

Ich bin in der 9. Klasse auf einem Gymnasium also nur dass ihr wegen dem Niveau her wisst.

Alsoo ich verstehe nicht wie man da drauf kommt. Ich habs schon versucht, komme aber mit den ganzen pis durcheinander:(

Wäre super lieb wenn mir jemand helfen könnte

Lg

Comments

Kannst du denn schon ableiten? Ansonsten Nullstellen und Scheitelstelle der Parabel bestimmen.

Wie nummeriert ihr die Klassen?

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/88923/abmessungen-fensters-rechteck-aufgesetztem-halbkreis-wahlen Allerdings auch mit Ableitung gemacht.

Answer 1

a) Der Flächeninhalt soll bei gegebenem Umfang maximal sein.

Nebenbedingung
U = 2·r + 2·h + pi·r → h = U/2 - r·(pi + 2)/2

Hauptbedingung
A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2
A = 2·r·(U/2 - r·(pi + 2)/2) + 1/2·pi·r^2
A = r·(U - r·(pi + 2)) + 1/2·pi·r^2
A = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A' = U - r·(pi + 4) = 0 → r = U/(pi + 4)

h = U/2 - r·(pi + 2)/2
h = U/2 - (U/(pi + 4))·(pi + 2)/2
h = U/(pi + 4)

A = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A = (U/(pi + 4))·U - (U/(pi + 4))^2·(pi + 4)/2
A = u^2/(2·(pi + 4))

Comments

Ok danke schonmal.

Aber muss ich da noch irgendwas weiterrechenen, ich verstehe irgendwie nicht wie ich das Ergebnis jetzt rausbekomme

Lg

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Im Prinzip gehst du so vor wie ich es gemacht habe. Theoretisch kannst du dann überall wo U steht einfach 6 einsetzen.

A = r·U - r2·(pi + 4)/2

A = r·6 - r^2·(pi + 4)/2

A = 6·r - 3.570796326·r^2

Das ist jetzt eine nach unten geöffnete Parabel von der Du den Scheitelpunkt suchst.

Ich habe das einfach mal mit der Ableitung gemacht. Du kannst aber auch Nullstellen ermitteln. Symmetrisch zwischen den Nullstellen liegt dann die x-Koordinate vom Scheitelpunkt.

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Warum ist denn h= U/2 - r*(pi+2)/2, bzw woher kommt das (pi+2)?

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Warum ist denn h= U/2 - r*(pi+2)/2, bzw woher kommt das (pi+2)?

Löse die Gleichung U = 2·r + 2·h + pi·r nach h auf.

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Bei mir kommt dann - r - 1/2pi*r+1/2U raus.

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- r - 1/2*pi*r + 1/2*U

Das sieht doch gut aus

1/2*U kannst du auch schreiben als U/2

bei - r - 1/2*pi*r können wir -r/2 ausklammern

- r - 1/2 * pi * r = - r/2 * (2 + pi)

Wenn dir dein Ergebnis lieber ist, kannst du das aber auch weiterhin benutzen.

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Achsooo! Vielen dank :)