Aufgabe:$$\begin{aligned} \text{(i)} \quad &f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2} && \text{für} \space x \in \mathbb{D} := \left[\frac 12 , \, 1\right]\\ \text{(ii)} \quad&f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2 } && \text{für} \space x \in \mathbb{D} := \left[0, \, 1\right] \end{aligned}$$ Original war:
(i) fn(x)= \( \frac{nx}{1+n2x2} \) für x∈ D := [\( \frac{1}{2} \) , 1]
(ii) fn(x) = \( \frac{nx}{1+n2x2} \) für x∈ D := [0 , 1]
Problem/Ansatz:
In der Lösung steht nun, dass (i) konvergiert, (ii) nicht. (i) habe ich noch problemlos lösen können, indem ich |fn-f| abgeschätzt habe auf das Supremum und dann nachgeschuat habe, ob es gegen 0 konvergiert.
Bei (ii) wurde jedoch geschrieben, dass es nicht konvergiert, da für fn(1/n) = 1/2 rauskommt.
Mein Übungsleiter hat gemeint, dass deswegen bei (ii) 1/n benutzt wurde, weil es in [0,1] liegt und zwar für n>2. Aber wo wurde das definiert? Und wieso liegt 1/n nicht in [1/2, 1]? Woher weiß man beim ersten Blick schon, dass eine Folge nicht gleichmäßig funktioniert, dass man 1/n zum Testen einsetzen kann?
Vielen Dank!
