Gleichmäßige Konvergenz x(1-x)^n

Question

Ich soll beweisen, dass f_n (x)= x (1-x)ⁿ im Intervall [0,1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert

Mein Ansatz:

Wenn die Nullfunktion die Grenzfunktion f(x)=0 ist, dann müsste folgendes gelten:

Sup |f_n - f| = sup |f_n| → 0 für n→∞

Das Supremum von f_n wäre für n gegen unendlich ja 0, weil in der Klammer (1-x)ⁿ immer ein Wert kleiner als 1 ist und für n gegen unendlich dann ein Wert gegen Null geht. Außer wenn x=0 ist. Aber ist die Erklärung bzw. der Ansatz so überhaupt richtig?

Comments

Hallo,

der Ansatz ist richtig. Ich würde die Argumentation aber dadurch absichern, dass ich mit Hilfe der ersten Ableitung von \(f_n\) herausfinde, an welcher Stelle \(x_n\) die Funktion \(f_n\) jeweils ihr Maximum annimmt. Also \(x_n\) so bestimmen, dass

$$\sup |f_n(x)| =f_n(x_n)$$

Gruß

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Vielen Dank MathePeter! Das hat mir geholfen

Answer 1

Hallo,

für \( f_n(x) = x (1 - x)^n \) ist \( f_n'(x) = (1-x)^n - xn(1-x)^{n-1} \).

Für \( x \neq 1 \) ergibt sich \( 1 - \hat x_n - \hat x_n n = 0 \) beziehungsweise \( \hat x_n = \frac{1}{n+1} \). Für \( x = 1 \) ist \( f_n(x) \) nicht maximal.

Es ist \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n+1} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n \) und damit \( f_n(\hat x_n) = \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \).

Schließlich folgt

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \sup f_n = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(\hat x_n) \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\exp(-1)}{n} \)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ne} \)
\( = 0 \).

Grüße

Mister