Gleichmäßige Konvergenz mit 1/n als Test

Question

Aufgabe:$$\begin{aligned} \text{(i)} \quad &f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}  && \text{für} \space x \in \mathbb{D} := \left[\frac 12 , \, 1\right]\\ \text{(ii)} \quad&f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2 } && \text{für} \space x \in \mathbb{D} := \left[0, \, 1\right] \end{aligned}$$ Original war:

(i) f_n(x)= \( \frac{nx}{1+n²x²} \) für x∈ D := [\( \frac{1}{2} \) , 1]

(ii) f_n(x) = \( \frac{nx}{1+n²x²} \) für x∈ D := [0 , 1]

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht nun, dass (i) konvergiert, (ii) nicht. (i) habe ich noch problemlos lösen können, indem ich |fn-f| abgeschätzt habe auf das Supremum und dann nachgeschuat habe, ob es gegen 0 konvergiert.

Bei (ii) wurde jedoch geschrieben, dass es nicht konvergiert, da für fn(1/n) = 1/2 rauskommt.

Mein Übungsleiter hat gemeint, dass deswegen bei (ii) 1/n benutzt wurde, weil es in [0,1] liegt und zwar für n>2. Aber wo wurde das definiert? Und wieso liegt 1/n nicht in [1/2, 1]? Woher weiß man beim ersten Blick schon, dass eine Folge nicht gleichmäßig funktioniert, dass man 1/n zum Testen einsetzen kann?

Vielen Dank!

Comments

Hat sich inzwischen erledigt.

Answer 1

Und wieso liegt 1/n nicht in [1/2, 1]?

weil z.B. für n=3    1/3 nicht in  [1/2, 1] liegt.

Woher weiß man beim ersten Blick schon, dass eine Folge nicht gleichmäßig

konvergiert , dass man 1/n zum Testen einsetzen kann?

Auf den ersten Blick weiß man das vielleicht nicht, aber

wenn man ein wenig experimentiert und sich den

Term genau ansieht, merkt man, dass für 1/n immer

der gleiche Wert    1/2 herauskommt.

Und weil 1/n gegen 0 geht, aber für x=0 nicht 1/2 herauskommt,

kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort! ich habe komplett übersehen, dass n∈ℕ gilt. Eine Frage hätte ich allerdings noch. Du hast geschrieben, dass für 1/n man gegen 0 geht, aber für x = 0 nicht 1/2 herauskommt. Weshalb wurden die beiden Sachen hier in Zusammenhang gestellt? Ich habe momentan Probleme, mir das bildlich vorzustellen.

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Bei x=0 ist die Grenzfunktion f für 1/n gegen n gegen unendlich 0,

nicht  gegen f(0)=0 sondern geht (konstant) gegen 1/2.

Also ist f bei x=0 nicht stetig. Für eine gleichmäßig

konvergiert ist die Grenzfunktion aber stetig.

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Ich glaube mein Verständnisproblem liegt besonders darin, dass man für x=0 einsetzt, aber ich nicht weiß wo genau es bei 1/n eingesetzt wird weil die Variable x nicht existiert. Wird mit der Unbekannten x auch n hier gemeint? :s Aber dass die Grenzfunktion stetig sein muss, ist mir bewusst :) 

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Mit der Stetigkeit hatte ich nicht man vertan, das ist die wohl .

Aber was du sagst: 
" Ich glaube mein Verständnisproblem liegt besonders darin, dass man für x=0 einsetzt, aber ich nicht weiß wo genau es bei 1/n eingesetzt wird weil die Variable x nicht existiert. "  kann ich so verstehen:

Die Grenzfunktion ist die (konstante) Nullfunktion [ also schon stetig] , aber

wenn man um einen "Epsilonschlauch" um die Nullfunktion legt, gehen für alle

genügend großen n immer alle f_n(x) für alle in dem  "Epsilonschlauch" um die Nullfunktion liegen alle liegen.  Wenn du nun um x=1/2 einsetzt sind

für alle n alle f_n(1/n)  = 1/2  nicht in  dem  "Epsilonschlauch" um die Nullfunktion liegen alle liegen.