Eigenvektor berechnen

Question

Aufgabe:

Nach der Berechnung der Eigenwerte (Nullstellen des char. Polynom) kommt die Berechnung des Eigenvektors (für die jeweiligen Eigenwerte)

Kann ich, statt es mit dem Gauß Verfahren umständlich zu lösen, es mit dem Kreuzprodukt ausrechnen

Beispiel:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 6 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) $$

Ich muss doch nur das Kreuzprodukt der ersten beiden Zeilen (logischerweise nach dem Einsetzen des jeweiligen Eigenwert Eintrags auf der diagonalen) ausrechnen und hätte meinen Eigenvektor:

Bsp Eigenwert=1

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \)  x  \( \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} \)

Stimmt diese Vorgehensweise ?

Wenn ja, wäre diese Variante doch deutlich schneller und effizienter oder nicht ?

Wenn ja , was passiert bei doppelten Eigenwerten ?

Comments

Wenn eine Matrix A den Eigenwert 1 hat, gibt es Eigenvektoren v, so dass:

A * v = v

Du kannst v = (x,y,z) in diese Gleichung einsetzen und so bestimmen. Eine Komponente des Eigenvektors kann frei gewählt werden, wenn sie nicht zufälligerweise 0 ist.

Alternative: Vorgehen wie hier: https://www.mathelounge.de/612589/eigenvektor-zum-eigenwert-berechnen-3x3

Stimmt diese Vorgehensweise ?

Wenn ja, wäre diese Variante doch deutlich schneller und effizienter oder nicht ?

Kontrolliere das an diesem Beispiel.

Woher hast du die beiden andern Vektoren?

Müssen Eigenvektoren senkrecht auf der Ebene der Bildvektoren stehen? Wenn ja, warum?

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Bei der Berechnung der Eigenvektoren wird ja mit dem Vektor x multipliziert.

Das Ergebnis muss ja 0 sein.

Deshalb die Vorgehensweise

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Bzw. noch ein Beispiel:

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Hier geht es wiederum nicht :

Answer 1

das Kreuzprodukt hat wenig mit der Berechnung von Eigenwerten zu tun. Das funktioniert höchstens bei symmetrischen Matrizen, bei denen schon 2 Eigenvektoren bekannt sind. Der dritte steht senkrecht auf beiden, sie bilden eine Orthonormalbasis. Ist hier aber nicht der Fall.

Comments

Ich habe nicht die Eigenwerte gemeint, sondern die Eigenvektoren.

Es war nie die Rede davon, dass ich mit dem Kreuzprodukt die EigenWERTE berechnen wollte.

Nach der Berechnung der Eigenwerte (Nullstellen des char. Polynom) kommt die Berechnung des Eigenvektors (für die jeweiligen Eigenwerte)

Kann ich, statt es mit dem Gauß Verfahren umständlich zu lösen, es mit dem Kreuzprodukt ausrechnen

Bei der Berechnung der Eigenvektoren wird ja mit dem Vektor x multipliziert.
Das Ergebnis muss ja 0 sein.
Deshalb die Vorgehensweise

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Im ersten Satz habe ich mich verschrieben, da meinte ich Eigenvektoren.

Aus deinem Bild sehe ich was du meinst.  Aber das reicht nicht aus. Es handelt sich um ein 3x3 Gleichungssystem. Dein Kreuzproduktansatz berücksichtigt aber nur 2 der 3 Gleichungen.

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Ein Beispiel :

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Hier geht es wiederum nicht :

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Stimmt,hier klappt es, da die dritte Gleichung erfüllt ist. Bin mir aber nicht sicher, ob es immer klappt.

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Stimmt,hier klappt es, da die dritte Gleichung erfüllt ist. Bin mir aber nicht sicher, ob es immer klappt.

Bei der ersten Variante funktioniert es, bei der zweiten jedoch ncith .

Wie kann man das vorab erkennen?

Answer 2

  Du überblickst gar nicht, was alles schief gehen kann.

  1) Als Nullstellen eines Polynoms folgt für die Eigenwerte aus dem ===> Fundamentalsatz der Algebra i.A.   nur, dass sie komplex sind. Niemand garantiert dir reelle Eigenwerte ( außer vielleicht bei Dreiecksmatrizen )

   2) Erstaunlich viele Herrschaften haben hier ===> Elementarteiler  (  ET  )  drauf; im Falle einer Entartung ist nur die Zerlegung nach Haupträumen direkt, die nach Eigenvektoren i.A. nicht.  D.h.  die Eigenvektoren müssen nicht notwendig eine Basis bilden.

  3) Es ist nicht ersichtlich, wieso verschiedene Eigenvektoren aufeinander senkrecht stehen sollten.

   Die einzige Ausnahme bilden ===>  Hermitesche Operatoren

    a) Ihre sämtlichen Eigenwerte sind reell.

   b) Die Eigenvektoren bilden eine ONB .

   c) D.h. Hermitesche Operatoren sind ===>  halb einfach  ( diagonalisierbar )  , ihre ET sind linear.

   In diesem Hermiteschen Sonderfall ( der hier wie gesagt nicht vor liegt ) magst du getrost zum Kreuzprodukt greifen. Aber nur wenn du  stets im Hinterkopf behältst,  dass sich das Konzept des Kreuzprodukts nicht auf mehr als drei Dimensionen verallgemeinern lässt.

   In deinem Sonderfall empfehle ich dir meine Schmuddeltricks.  Erstes Axiom: Die Spalten deiner Matrix  sind ja die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren; man sieht sofort, dass Spalte 2 Eigenvektor ist zu Eigenwert E1 = ( - 1 )

   Ferner fällt auf,  dass   Zeile 3 das ( Minus 3-fache ) von Zeile 1 ist.  Aha; wir haben lineare Abhängigkeit, einen nicht trivialen Kern und damit Eigenwert E2 = 0  .  Über die ===> Spur deiner Matrix ermittelst  du auch sofort  den noch fehlenden  Eigenwert E3 = 5

   Bestimmen wir zunächst den Kernvektor.

      2  x  -  z  =  0   ===>  z  =  2  x      (  1a  )

     3   x  -  y  +  2  z  =  0       (  1b  )

     Jetzt   z aus ( 1a ) einsetzen in ( 1b )

       3  x  -  y  +  4  x  =  0  ===>  y  =  7  x      (  2b  )

 

   Aus ( 1a;2b )  liesest du den Kernvektor ab  in der üblichen primitiven Form

     e_0  =  (  1  |  7  |   2  |   )       (  3 )

   ( Deine dritte Gleichung zählt nicht, da sie lediglich Aussage  ( 1a ) wiederholt. )

    Und jetzt zu deinem Eigenwert   5

    

       2  x  -  z  =  5  x  ===>  z  =  -  3  x       (  4a  )

     3 x - y + 2 z =  5  y      (  4b  )

     3 x  +  2  z  =  6  y      (  5b  )

     Jetzt z einsetzen aus ( 4a )

       3  x  -  6  x  =  -  3  x  =  6  y  ===>  y  =  -  1/2  x       (  6b  )

    Damit haben wir die primitive Darstellung

      x  =  -  2  y  ;   z  =  6  y          (  7a  )

    e_5  =  (  -  2  |  1  |  6  )      (  7b  )      ;   Probe !