Lagrange -(L(a,b,λ)=a1/7*b6/7+λ(70-2a-4b))

Question

Aufgabe:

Am Markt werden Paradies-Äpfel (a) für 2€/kg und Exoten- Bananen (b) für 4€/kg
angeboten. Anne Müller möchte daraus einen modernen Smoothie herstellen und auf
dem nächsten Stadtfest an gesundheitsbewusste Menschen verkaufen. Da sie sich
nicht sicher ist, wie das neue Getränk ankommen wird, möchte sie bei einem ersten
Testlauf nur 70€ ausgeben.
Sie besitzt bereits eine neuartige Smoothie- Maschine deren Ausgabemenge an
Smoothies (in Litern) sich durch folgende Produktionsfunktion beschreiben lässt:

p(a,b)=a1/7+b6/7

Problem/Ansatz:

L(a,b,λ)=a^1/7*b^6/7+λ(70-2a-4b)

dl/da=1/7 a^-6/7*b^6/7+λ

dl/db=a^1/7*6/7b^-1/7+λ

dl/dλ=70-2a-4b

1/7 a^-6/7*b^6/7-a^1/7*6/7b^-1/7     |*b^1/7
1/7a^-6/7*b-a^1/7*6/7=0                         |*a^6/7
1/7*b-a*6/7=0
6/7a=1/7b                                |1/7
b=6a

70-2a*4*6a=0

70-26a Falsch!

Lösung:a= 5; b= 15

Wenn ich alles richtig gemacht habe, kann ich mir nur vorstellen das die Nebenbedingung flasch ist.

Danke für die Hilfe!!

Answer 1

du hast \(L(a,b,\lambda)=a^{\frac{1}{7}}\cdot b^{\frac{6}{7}}+\lambda(70-2a-4b)\)

Die partiellen Ableitungen sind bei dir bereits falsch. Hier richtig:$$\frac{\partial L}{\partial a}=\frac{1}{7}a^{-\frac{6}{7}}\cdot b^{\frac{6}{7}}-2\lambda \stackrel{!}{=}0$$$$\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{6}{7}a^{\frac{1}{7}}\cdot b^{-\frac{1}{7}}-4\lambda \stackrel{!}{=}0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=70-2a-4b\stackrel{!}{=}0$$ Daraus folgt \(a=5 \quad ∧ \quad b=15\)

Hast du Probleme das LGS zu lösen: dann frage!

Comments

Ohhh stimmt ja danke!!!

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Gern geschehen!

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Beim LGS muss ich doch nur ändern, das bei den 1/7a^-6/7_*b^6/7_*2 so das man ende da steht
6/7a=1/7*2*b
6/7a=2/7b   ||/2/7
b=3a

70-2a-4*3a=0
70=14a
a=5

70-2*5-4b=0
60=4b
b=15

!

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Du musst dich ein bisschen präzisier ausdrücken, ich habe dich leider nicht verstanden. Aber du hast doch das richtige Ergebnis, das ist ja schon einmal ein gutes Zeichen!

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Meine das sich allgemein im ganzen nur eine  2* an die 1/7 machen muss.
2*1/7a^-6/7*b^6/7-6/7b^-1/7*a^1/7  |*b^1/7 | * a^{6/7
6/7a=2*1/7*b
6/7a=2/7b  ||/2/7
b=3a}

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Du multiplizierst \(\frac{1}{7}a^{-\frac{6}{7}}\cdot b^{\frac{6}{7}}-2\lambda\) mit \(2\), um \(\lambda\) zu eliminieren.