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Beweis Morgansches Gesetz
Um zu beweisen, dass
\( X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(X \backslash A_{i}\right) \)
gilt, müssen wir zeigen, dass jedes Element, das zur linken Seite der Gleichung gehört, auch zur rechten Seite gehört und umgekehrt.
Schritt 1: Zeige \(X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}(X \backslash A_{i})\)
Sei \(x \in X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}\). Das bedeutet, dass \(x\) in \(X\) liegt, aber nicht im unendlichen Schnitt aller \(A_i\), oder anders ausgedrückt, es existiert mindestens ein \(A_i\), sodass \(x\) nicht in \(A_i\) liegt.
Da \(x\) nicht in wenigstens einem \(A_i\) liegt, bedeutet das, dass \(x\) in \(X \backslash A_i\) für dieses spezifische \(i\) liegt. Daher ist \(x\) in der Vereinigung \(\bigcup_{i=1}^{\infty}(X \backslash A_{i})\), da die Vereinigung alle Elemente enthält, die in mindestens einem der Mengen \(X \backslash A_i\) enthalten sind.
Das zeigt, dass jedes Element der linken Seite auch in der rechten Seite enthalten ist.
Schritt 2: Zeige \(\bigcup_{i=1}^{\infty}(X \backslash A_{i}) \subseteq X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}\)
Nehmen wir nun ein Element \(x\) aus der rechten Seite, also \(x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(X \backslash A_{i})\). Das bedeutet, \(x\) liegt in \(X \backslash A_i\) für mindestens ein \(i\), was wiederum heißt, dass \(x\) in \(X\) liegt, aber nicht in \(A_i\) für dieses spezifische \(i\).
Da \(x\) nicht in wenigstens einem \(A_i\) liegt, kann \(x\) nicht im Schnitt aller \(A_i\), also \(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}\), enthalten sein. Denn der Schnitt würde verlangen, dass \(x\) in jedem \(A_i\) liegt. Somit liegt \(x\) in \(X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}\).
Das zeigt, dass jedes Element der rechten Seite auch in der linken Seite enthalten ist.
Da wir beide Inklusionen bewiesen haben, haben wir gezeigt, dass
\( X \backslash \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} = \bigcup_{i=1}^{\infty}(X \backslash A_{i}) \)
gilt, was dem Morganschen Gesetz für unendliche Mengen entspricht.
