Quotientenkriterium bei Reihe anwenden

Question

Ich habe bis jetzt noch nie das Quotientenkriterium angewandt. Würde mich freuen wenn mir das jemand erklären könnte.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n ! 3^{n}}$

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

$$\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\cdot 3^{n+1}}}{\frac{n^n}{n!\cdot3^n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\cdot 3^{n+1}}\cdot \frac{n!\cdot3^n}{n^n}$$

Jetzt geignet kürzen.

(n+1)!=n!*(n+1)

(n+1)^{n+1}=(n+1)^n*n(+1)

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Super Kommentar, könnte auch 'ne Antwort sein.

Mister

PS an den Fragesteller: Übrig bleibt übrigens $\frac{1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$ und die Frage, ob $\frac{1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$ < 1 gilt.

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Hallo ! Vielen Dank für eure Antworten helfen mir schon mal sehr weiter !!!

Die Reihe konvergiert :-) Frage ist nur könnte mir bitte wer formal hinschreiben wie der korrekte Beweis aussieht bzw. wie man das schreibt ? Ich denk nur die Werte einzusetzen wird nicht grad "professionell" sein oder?

Danke glg :-)

Answer 1

a(n) = n^n/(n!·3^n)

a(n+1) = (n + 1)^{n + 1}/((n + 1)!·3^{n + 1})


lim n→∞ a(n+1) / a(n) = 1/3·(1 + 1/n)^n = e/3 = 0.906 < 1