Zahlenpaar bestimmen anhand von ggT(m,n)=1 und kgV(m,n)=56

Question

Aufgabe:

Zahlenpaar bestimmen anhand von

ggT(m,n)=1 und kgV(m,n)=56

Soweit so gut - Primfaktorzerlegung wurde angewandt:

1 = 1

56 = 1*2*2*2*7 = 2^3*7

Problem/Ansatz:

Nun alle Faktoren aufteilen, um die möglichen Werte zu bekommen für m,n:

1 ... 1*2*2*2*7   =   (1|56)

1*2 ... 1*2*2*7   =   (2|28)

1*2*2 ... 1*2*7   =   (4|14)

1*2*2*2 ... 1*7   =   (8|7)

Das Problem ist, die mittleren Werte für m und n stimmen nicht, weiß aber nicht warum.

Könnte mir das jemand eventuell erläutern, warum man das nicht so machen darf bzw. was hier außer Acht gelassen wurde?

Answer 1

 

1 ist keine Primzahl  und hat deshalb eigentlich auch keine Primfaktorzerlegung  (PFZ). Online-Rechner setzen diese teilweise = 1.

In den PFZ deiner gesuchten Zahlenpaare

-  müssen alle Primfaktoren (von 1)  und von 56 insgesamt in der höchsten vorkommenden                Potenz  vorkommen, damit das kgV = 56 ist

-  dürfen beide Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, damit der ggT = 1 ist

Letzteres ist bei deinen beiden mittleren "Versuchen" nicht erfüllt.

Gruß Wolfgang

Comments

Ah, vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

d.h zur vollständigen Klärung z.B in folgendem Fall:

ggT(m,n)=30 ... kgV(m,n)=2520

2*3*5 ... 2*2*2*3*3*5*7

2*3*5 ... 2*3*5 *2*2*3*7

das bedeutet in dem Fall sollte ich die Zahlen 2,2,3,7 aufteilen auf die beiden Seiten.
Die 2 ist hier 2mal vorhanden. Nun muss ich beachten, dass diese 2er nur auf einer Seite stehen?

Abschliessende Erkenntnis:

Das bedeutet ich darf die beiden 2er nur auf einer Seite stehen haben und nicht getrennt voneinander? Habe ich das richtig verstanden?

Folgende Ergebnise:

2*3*5          ...      2*3*5 *2*2*3*7   (30|2520)

2*3*5 *3      ...       2*3*5 *2*2*7     (90|840)

2*3*5 *3*7   ...  2*3*5 *2*2             (630|120)

Danke für die Hilfe!

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Hups, natürlich noch:

2*3*5 * 7     ...    2*3*5 *2*2*3  (210|360)

Answer 2

Könnte mir das jemand eventuell erläutern, warum man das nicht so machen darf

Selbstverständlich darfst du die Kette von Zahlenpaaren (1|56), (2|28), (4|14), (8|7) so entwickeln,wie du es gemacht hast

was hier außer Acht gelassen wurde?

Du hast außer Acht gelassen, dass eines deiner Zahlenpaare nur dann in Frage kommt, wenn dessen Komponenten keine gemensamen Primfaktoren haben (also das erste und das letzte).

Comments

Vielen vielen Dank für deine Antwort. Sie hat mir sehr geholfen.
Sehr schön beantwortet - kurz, verständlich und informativ!

Großen Dank, Roland!