DGL lösen xy' +y = ln(x)

Question

ich benötige eure Hilfe beim Lösen der DGL:  xy' +y = ln(x)

erkennbar ist, dass entweder Variation der Konstanten oder Substitution zu verwenden ist, aber ich komme nicht weiter..

danke

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Tipp: \(\dfrac{\mathbb d}{\mathbb dx}xy=xy^\prime+y\).

Answer 1

Hallo Samira,

Inhomogene DGL 1. Ordnung  (Variation der Konstanten):
y '  +  f(x) · y  =  s(x)         [ bei dir:  y ' + 1/x ·y = ln(x)/x  ]

Mit der – im Folgenden hergeleiteten – untenstehenden  Formel (#)  kann man diese DGL direkt lösen.

Herleitung der Lösungsformel:

Die allgemeine Lösung der homogenen  DGL  y '  +  f(x) · y  =  0  ist

             [ bei dir: f(x) = 1/x ]
y_h  =  c · e ^{- F(x)}        mit  F(x)  = ∫ f(x)  dx    (eine beliebige Stammfunktion von f) 
             [ bei dir:  F(x) = ln(x) ]

Die allgemeine Lösung y  der inhomogenen DGL erhält man aus y_h , wenn man die Konstante c variabel macht, indem man sie durch c(x) ersetzt:
y  = c(x) · e ^{- F(x)}    ( jetzt muss nur noch c(x) bestimmt werden)
Wenn man jetzt y ableitet, hat man
y' = c'(x) · e ^{- F(x)} +  c(x) · (-f(x)) · e ^{- F(x})
y' und y in die inhomogene DGL eingesetzt ergibt:
c'(x) · e ^{- F(x)} +  c(x) · (-f(x)) · e ^{- F(x)} + f(x) · c(x) · e ^{- F(x)}  =  s(x)   [ bei dir:  s(x) = ln(x)/x ]
                          (hebt sich auf)

und nach c‘(x) auflöst:    c'(x)  =  s(x) · e^F(x)    
→  c(x)  =  ∫ c'(x) dx  = ∫ s(x) · e^F(x) dx    

und damit

y  =  e^{- F(x)} • ∫ s(x) · e^F(x) dx   (allgemeine Lösung  der DGL)    (#)

Bei dir mit F(x) = ∫ f(x) dx = ln(x)  und    s(x) = ln(x)/x :

              y = ·e^-ln(x) • ∫ ln(x)/x · e^ln(x) dx   =  1/x • ∫ ln(x) dx

              y =  1/x · (x · ln(x) - x + c )   =  ln(x) - 1 +  c/x   

Gruß Wolfgang

Comments

Warum nicht einfach direkt integrieren um \(\displaystyle xy=\int\ln x=x(\ln x-1)+c\) zu erhalten und anschließend durch \(x\) dividieren?

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In diesem Sonderfall (den man natürlich erst einmal erkennen muss)  sehr elegant und wesentlich kürzer. Danke für den Hinweis!

Die (bekannte) Lösungsformel ist aber allgemeiner anwendbar und benötigt - ohne die Herleitung - auch nur einen erträglichen Rechenaufwand.

Answer 2

Diese DGL kannst Du als exakte DGL lösen oder

mittels Variation der  Konstanten.

teile die DGL durch x.

y' +y/x= ln(x)/x

Schau in Deine Unterlagen , ob ihr das gehabt habt.

Comments

danke dir, nein das hatten wir nicht

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dann löse die DGL mittels Variation der Konstanten