Schnittgerade von zwei Ebenen: I: x + y + z = 1, II: x -2y + z = -4

Question

Aufgabe:

Ich hab zwei Gleichungssysteme:

I: x + y + z = 1

II: x -2y + z = -4

Aus denen soll die Schnittgerade berechnet werden.

Problem/Ansatz:

wenn ich da in Gaussch anwende komm ich auf y = 3/5

Wie muss ich jetzt weiter machen das ich die Schnittgerade in Parameterform herausbekomme?

Answer 1

Ich hab zwei Ebenengleichungen:
I: x + y + z = 1
II: x -2y + z = -4

I - II  3y=5

ist eine Gleichung der Schnittgeraden.

Comments

3y=5 ist eine Gleichung der Schnittgeraden.

Wohl eher eine Gleichung der Ebene, in der die Schnittgerade liegt oder nicht?

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Damit hast du recht.

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Das sieht man gut im Resultat, das Mathecoach bestimmt hat.

X = [0, 5/3, - 2/3] + r·[1, 0, -1]

Die y-Koordinate ist wegen der 0 in der zweiten Komponente des Richtungsvektors immer gleich. Den konstanten Wert von y entnimmt man dem Stützvektor.

Answer 2

x + y + z = 1

x - 2·y + z = -4

I - II

3·y = 5 --> y = 5/3

In I einsetzen

x + 5/3 + z = 1 --> z = -x - 2/3

Damit ist eine Lösung

[x, 5/3, -x - 2/3] = [0, 5/3, - 2/3] + x·[1, 0, -1]

Wenn du jetzt noch x durch einen Parameter ersetzt hast du deine Schnittgerade

X = [0, 5/3, - 2/3] + r·[1, 0, -1]

Comments

Wie kommst du auf das x ·[1, 0, -1]?

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Du teilst den Vektor in Summanden mit x und Summanden ohne x

[x, 5/3, -x - 2/3] = [0 + 1·x, 5/3 + 0·x, -2/3 - 1·x] = [0 , 5/3, -2/3] + [1·x, 0·x, -1·x] = [0 , 5/3, -2/3] + x·[1, 0, -1]

So besser verständlich?

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Ja ist verstaendlich, aber warum darf man das machen?

Answer 3

wenn ich da in Gaussch anwende komm ich auf y = 3/5

I: x + y + z = 1

II: x -2y + z = -4

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3y = 5

y = 5/3