Bildet R^2 einen Körper + Beweis

Question

Aufgabe:

a) Es sei \( \mathbb{R}^{2} \) mit der komponentenweisen Multiplikation \( \cdot \) und komponentenweisen Addition \( + \) versehen. Bildet \( \left(\mathbb{R}^{2},+, \cdot\right) \) einen Körper? Beweisen Sie Ihre Aussage.

b) Man betrachte die Teilmenge \( \mathbb{Q}[\sqrt{2}]:=\{x+\sqrt{2} y \mid x, y \in \mathbb{Q}\} \) von \( \mathbb{R} \), zusammen mit den in \( \mathbb{R} \) üblichen Operationen \( + \) und \( \cdot \). Ist \( (\mathbb{Q}[\sqrt{2}],+, \cdot) \) ein Körper? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Answer 1

Nein, da wenn du nachweist, dass R^2 mit dem Mal eine abelsche Gruppe ist, kommt als Ergebnis ,schon beim Zeigen der Assoziativität, eine reelle Zahl raus .

Vektor mal Vektor = reelle Zahl

Und die reellen Zahlen wiederum liegen nicht in der Menge des R^2.

Komponentenweise ist so gemeint: \((a,b)\circ(c,d):=(a\circ c, b\circ d)\). Die Pointe liegt also woanders.