Ein DIN-A-4-Blatt wird in ein Quadrat und ein Rechteck ABCD zerlegt. Das Rechteck ABCD wird in zwei Quadrate und ein Rechteck EFGH zerlegt. Das Rechteck EFGH wird in zwei Quadrate und ein Rechteck JKLM zerlegt. Das Rechteck JKLM wird in zwei Quadrate und ein Rechteck NOPQ zerlegt. Und so weiter. Zeige: Die Längen der längeren Rechtecksseiten bilden bei diesem Vorgehen eine geometrische Folge.
Ich vernachlässige mal das DIN-A4-Startblatt und beginne mit einem beliebigen der ausgeschnittenen Rechtecke. Das Verhältnis seiner kurzen zu seiner langen Seite beträgt: $$\left(1:\sqrt{2}+1\right)$$ Gehen wir nun von einem Rechteck mit den Maßen \(1\) und \(\sqrt{2}+1\) aus, dann hat das nächste Rechteck in der Folge die Maße \(\sqrt{2}-1\) und \(1\). Beide Rechtecke sind konstruktionsbedingt ähnlich zu einander und der Ähnlichkeitsfaktor beträgt $$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1.$$Damit bilden nicht nur die Maße der langen Seiten der ausgeschnittenen Rechtecke eine geometrische Folge, sondern auch die der kurzen Seiten und der Diagonalen.
Die Folge sollte lauten
a(n) = 25·2^(3/4)/2·(√2 - 1)^(n - 1)
Und es muss gelten:
a(n) = a(n - 2) - a(n - 1)
25·2^(3/4)/2·(√2 - 1)^(n - 1) = 25·2^(3/4)/2·(√2 - 1)^(n - 3) - 2·25·2^(3/4)/2·(√2 - 1)^(n - 2) → wahr
Sieht also recht gut aus.
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