Kreisgleichung durch zwei Punkte und eine Gerade berechnen

Question

Aufgabe:

Ein Kreis geht durch die Punkte P(7|4) und  Q(1|y) und berührt die Gerade t:X=(-1|5)+t*(2|1) in Q. Berechne die Kreisgleichung.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie und wo ich ansetzen soll, ich tue mir bei diesem Thema etwas schwer.

Answer 1

da die Gerade den Kreis im Punkt P berührt, kannst du seine Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen, um y zu erhalten:

-1 + 2t = 1 ⇒ t = 1

5 + t = y

6 = y

P (1|6)

Die Tangente eines Kreises verläuft immer senkrecht durch ihren Berührpunkt und den Mittelpunkt des Kreises. Der Mittelpunkt M befindet sich daher auf der Gerade

$$h(x) = \begin{pmatrix} 1\\6 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}$$

P und Q befinden sich beide auf dem Kreis und ihr Abstand zu M ist der Radius r. Die Länge des Radius entspricht also der Länge der Strecken MP und MQ. Die Länge eines Vektors wird berechnet mit

$$d=\sqrt{x_1^2 + x_2^2+x_3^2}$$

wobei x₃ hier wegfällt.

$$\vec{MP}=\begin{pmatrix} 7-x_1\\4-x_2 \end{pmatrix}\\ \vec{MQ}=\begin{pmatrix} 1-x_1\\6-x_2 \end{pmatrix}$$

für x1 und x2 ergeben sich aus h(x)

x₁ = 1 + s

x₂ = 6 - 2s

Daraus ergibt sich

$$\vec{MP}=\begin{pmatrix} 7-x_1\\4-x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6-s\\-2+2s \end{pmatrix}\\ \vec{MQ}=\begin{pmatrix} 1-x_1\\6-x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -s\\2s \end{pmatrix}$$

und somit die Gleichung

$$\sqrt{(6-s)^2+(2s-2)^2)}=\sqrt{(-s)^2+(2s)^2}$$

Die Gleichung nach s auflösen - die Schritte spare ich mir - ergibt s = 2

eingesetzt in h(x) ist der Mittelpunkt M (3|2).

Die Länge der Vektoren MP und MQ ist 4,472.

Die Kreisgleichung lautet daher

$$k:\vec{x}=(x-3)^2+(y-2)^2=20$$

Answer 2

berührt die Gerade t:X=(-1|5)+t*(2|1) in Q.

Also liegt der Mittelpunkt auf einer Gerade durch Q, die senkrecht auf t steht (erste Information).

Ein Kreis geht durch die Punkte P(7|4) und  Q(1|y)

Der Mittelpunkt ist von P und Q gleich weit entfernt (zweite Information).