Rechnen mit Ebenen: Bestimme die Gleichung der Normalebene epsilon auf gXv durch P

Question

Bitte Bitte bitte! Hilft mir beim Lösen dieses Beispieles, ich steh momentan völlig auf der Leitung und weiß nicht wie ich beginnen soll:

 

Gegeben seien der Punkt P = (5; 4; 3) und die Gerade gXv mit X =
(9; 1; 3) und v = (3; 4; 5) im Raum.
(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene epsilon auf gXv durch P.
(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von epsilon mit g.
(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Geraden gXv.

Answer 1

Gegeben seien der Punkt P = (5; 4; 3) und die Gerade gXv mit X =
(9; 1; 3) und v = (3; 4; 5) im Raum.

 

(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene epsilon auf gXv durch P.

E: (x; y; z) * (3; 4; 5) = (5; 4; 3) * (3; 4; 5)

E: 3x + 4y + 5z = 46

 

(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von epsilon mit g.

3(9 + 3r) + 4(1 + 4r) + 5(3 + 5r) = 46

27 + 9r + 4 + 16r + 15 + 25r = 46

50r = 0

r = 0

Damit ist (9; 1; 3) Schnittpunkt

 

(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Geraden gXv.

XP = P - X = (-4; 3; 0)

d = XP x v / | v | = | (-4; 3; 0) X (3; 4; 5) | / Wurzel(3^2 + 4^2 + 5^2) = Wurzel(1250) / Wurzel(50) = 5

Comments

Hier ist in der Angabe leider auch ein Fehler unterlaufen

Richtige Angabe:

Gegeben seien der Punkt P = (5; 4; 3) und die Gerade gXv mit X =
(9; 1; 3) und v = (3; 4; -5) im Raum.
(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene epsilon auf gXv durch P.
(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von epsilon mit g.
(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Geraden gXv.

 

Mir kommt dann raus:

a) E: 3x+4y+5z=24

 

b) r=0,16

 

und bei c) weiß ich dann nicht mehr weiter 

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(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene epsilon auf gXv durch P.

E: (x; y; z) * (3; 4; -5) = (5; 4; 3) * (3; 4; -5)

E: 3x + 4y - 5z = 16

 

(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von epsilon mit g.

3(9 + 3r) + 4(1 + 4r) - 5(3 - 5r) = 16

27 + 9r + 4 + 16r - 15 + 25r = 16

50r = 0

r = 0

Damit ist (9; 1; 3) Schnittpunkt

 

(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Geraden gXv.

XP = P - X = (-4; 3; 0)

d = XP x v / | v | = | (-4; 3; 0) X (3; 4; -5) | / Wurzel(3^2 + 4^2 + 5^2) = Wurzel(1250) / Wurzel(50) = 5