Warum ist die Funktion f mit f(x) = x² mit D = (-∞;0] streng monoton fallend?

Question

Ich verstehe nicht warum f mit  f(x) = x² und D = (-∞;0] streng monoton fallend ist.

Man sieht ja das für x = 0 f einen Tiefpunkt hat, daher wäre m = 0 und nicht mehr streng monoton fallend. Wäre die 0 nicht eingeschlossen hätte ich es verstanden, denn dann wäre ja die Steigung nicht m = 0.

Kann das mir jemand bitte erklären?

Danke

Answer 1

Eine Funktion ist streng monoton fallend in einem Intervall [a; b] wenn die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten aus diesem Intervall immer negativ ist.

Es geht hier also eindeutig um die Sekantensteigung und nicht um die Tangentensteigung.

Während der Grenzfall als Tangentensteigung Null werden kann geht das bei der Sekantensteigung hier nicht.

Comments

Wie unterscheide ich diese Ausdrücke, damit ich nicht wieder durcheinander komme?

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Welche Ausdrücke genau?

Sekantensteigung und Tangentensteigung?

Das ist ähnlich dem Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient.

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Ich meine wann geht es um die Monotonie d.h das Untersuchen des Steigungsverhalten und wann geht es um was anderes?

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Das ergibt sich allein aus der exakten Fragestellung.

Z.B.

Geben sie das größtmögliche Intervall an, in dem die Funktion f streng monoton fallend ist.

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Okay, Wie würde denn eine Aufgabestellung lauten die auf die Steigungsuntersuchung abzielt?

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Hab ich doch.

Geben sie das größtmögliche Intervall an, in dem die Funktion f streng monoton fallend ist.

Geben sie das größtmögliche Intervall an, in dem die Steigung der Funktion negativ ist.

Achtung: Beide Fragestellungen meinen nicht das gleiche und haben unterschiedliche Lösungen.

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Was bedeutet : "Zeigen Sie das die Funktion ... für x.>0 streng monoton ist?"

Ist das wieder die Steigungsuntersuchung oder die Sekantenuntersuchung ?

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Die Monotonie ist eine Sekantenuntersuchung.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion

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Ich verstehe es irgenwie nicht. Mir wurde immer gelehrt, dass eine Monotonie Untersuchung bedeutet das ich ermittle wo der Graph fällt oder steigt. Ich wusste nicht das sich zwischen der Monotonie noch mehr versteckt.

Nochmal langsam bitte : siehe https://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo1/monotonie

unter Monotonieintervalle, jedoch mit Bezug zur Ableitung.

Was ist jetzt was?

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Des ist eben nicht ganz korrekt und steht deswegen auch nicht so bei Wikipedia.

f(x) = x^3 ist eine streng monoton steigende Funktion obwohl f'(0) = 0 gilt.

Es müsste also lauten

Gilt f'(x) ≥ 0 für alle x, so ist f mind. monoton steigend. (Es kann also auch streng monoton steigend sein.)

Gilt f'(x) > 0 für alle x, so ist f in jedem Fall streng monoton steigend.

Da das den meisten aber zu kompliziert ist, steht es bei Serlo eben vereinfacht aber eben nicht ganz richtig.

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Ich als angehender Informatikstudent mag "eben nicht ganz richtig" überhaupt nicht. Für mich muss es 100% korrekt sein.

Wenn ich also die Informationen von Wikipedia befolge, bin ich auf der sicheren Seite oder?

Wie bestimme ich korrekt die Monotonieintervalle? Hab den Beweis leider nicht komplett verstanden.

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Mit den Angaben auf Wikipedia bist du auf der sicheren Seite.

Wenn du euren Beweis nicht komplett verstanden hast solltest du ihn nochmals schrittweise durchgehen und versuchen jeden einzelnen Schritt für sich getrennt zu verstehen.

Wenn du Probleme hast einen Schritt zu verstehen, dann kannst du hier auf der Platform gerne nachfragen. Am besten ist es wenn du den Beweis tatsächlich aufschreibst und dann in einem Beitrag dazu all deine Fragen klärst.

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Perfekt danke. Das heißt ich sollte jetzt auf diese "Methode" mit dem Beweis umsteigen, um solche Verwirrungen vorzubeugen. Würde diese Methode denn immer funktionieren?

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Du kannst es vereinfacht auch mit der Ableitung machen. Beachte dazu aber die Angaben auf Wikipedia. Link siehe oben.

Ich weiß nicht was ihr für ein Beweis genommen habt. Man kann in der Regel aber meist die Ableitung als Kriterium nehmen. Das ist sehr einfach.

Wenn du bei einer konkreten Aufgabe nicht weißt wie du vorgehen kannst, dann kannst du auch hier nachfragen.

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Spätestens im Studium kann ich das "einfach" abschminken. Ich möchte es gerne auf die schwere Weise machen. Ich habe eine Frage gestellt, weil ich leider den Anfang dieses Beweises nicht verstehe.

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Mach es wie du willst. Stell den Beweis ein und erkläre was du nicht verstehst.