Exponentialfunktion: Bevölkerungswachstum

Question

Aufgabe:

Die Bevölkerung einer Region ist von 2002 bis 2017 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2002 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2017 hatte sie 105 000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

a) Wie viele Einwohner wird die die Region im Jahr 2022 haben?

b) Wann wird die Region 150000 Einwohner erreicht haben?

HINWEIS: Zähle die Jahre von 2002 an, dh. t=0 entspricht dem Beginn des Jahres 2002!

Problem/Ansatz:

Ich habe schon ausgerechnet und habe aber leider kein richtiges Ergebnis bekommen.

Comments

Dann sag mal, was du gerechnet hast!

rechnet ihr mit exponentiellen Wachstum mit der e- funktion oder mit a^t

also N(t)=N(0)*e^kt oder  N(t)=N(0)*a^t

in beiden Fällen kennst du N(0) und N(15) und kannst daraus k oder a bestimmen.

Gruß lul

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Kann mir jemand bitte Rechenwege bei der Aufgabe zeigen ist keine geeignete Überschrift für eine Frage.

Answer 1

Im Jahr 2002 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2017 hatte sie 105 000 Einwohner.

Also gilt  für die Bevölkerungszahl N(t) für t Jahre nach 2002

N(0)=82000

N(15)=105000

Das gibt einen Wachstumsfaktor q mit

q^(15) * 82000 = 105000

q^(15) =1,2805

also q = 1,2805^(1/15) = 1,0166

Also N(t)=82000 * 1,0166^t

2022:  Da ist t=20 also N(20)=82000 * 1,0166^(20) =113977

150000 = 82000 * 1,0166^t

1,875 = 1,0166^t

t= ln(1,875) / ln(1,0166) = 38,2   Also nach gut 38 Jahren im Jahre 2040.

Answer 2

q = (105000/82000)^(1/(2017 - 2002)) = 1.016619329

f(x) = 82000·1.016619329^x

f(2022 - 2002) = 82000·1.016619329^20 = 114020 Einwohner