[vollst indukt] Teilbarkeit → 5 | (3^(n+1) + 2^3n+1)

Question

Aufgabe

Zeigen, dass folgende Annahme, für alle n € N gilt:

A(n) : \( 5 | (3^{n+1} + 2^{3n+1}) \)

Ansatz

Ind.-Anfang: für n = 1

\( 3^{1+1} + 2^{3*1+1} \)

\( = 3 * 3 + 2^3 * 2 \)

\( = 9 + 16 = 25 \) ✅

Ind.-Schritt:

für alle n € N ist zu zeigen, dass A(n+1) gilt unter der Annahme dass A(n) gilt.

\( 3^{n+1+1} + 2^{3*(n+1)+1} \)
\(=  3^{n+1} * 3 + 2^{3n+3+1} \)
\( = 3^{n+1} * 3 + 2^{3n+1} * 2^3 \)
\( = 3 * 3^{n+1} + 8 * 2^{3n+1} \)

Da nach A(n), 5 sowohl 3^{n+1} als auch 2^{3n+1} teilt, ist 5 auch ein Teiler der Vielfachen dieser Ausdrücke. Damit ist A(n+1) für alle n € N gezeigt. 


Kann ich das so stehen lassen oder was müsste/sollte ich korrigieren?

Comments

Da nach A(n), 5 sowohl 3^{n+1} als auch 2^{3n+1} teilt

A(n) sagt nur, dass \( 5 \vert 3^{n+1} + 2^{3n+1} \), nicht das was du behauptest! Wie soll 5 eine 3er oder 2er Potenz teilen?

Answer 1

Deine Argumentation ist falsch, siehe Kommentar.

\( 3^{n+1+1} + 2^{3*(n+1)+1} \)

\(=  3^{n+1} * 3 + 2^{3n+3+1} \)

\( = 3^{n+1} * 3 + 2^{3n+1} * 2^3 \)

\( = 3 * 3^{n+1} + 8 * 2^{3n+1} \)

Soweit OK, jetzt ergänze geschickt eine 0

\( = 3 * 3^{n+1} +5*3^{n+1}+ 8 * 2^{3n+1} -5*3^{n+1}\)

\( = 8 * 3^{n+1}+ 8 * 2^{3n+1} -5*3^{n+1}\)

\( = 8 * (3^{n+1}+  2^{3n+1}) -5*3^{n+1}\)

Die Klammer ist wegen der Ind.annahme durch 5

teilbar, also auch ihr 8-faches und

der Subtrahend ist offenbar Vielfaches von 5,

also ist die ganze Differenz durch 5 teilbar .

Comments

Das ist ja trickreich. :) Danke.

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Ein alternativer Weg wäre:

$$  3 * 3^{n+1} + 8 * 2^{3n+1} \\=  3 \cdot 3^{n+1} + 3 \cdot 2^{3n+1} + 5 \cdot 2^{3n+1}$$