Rationale Funktion gesucht mit 2 Extrema

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f, deren Graph im Punkt (1 / 0) einen Hochpunkt und im Punkt (-1 / 0) einen Tiefpunkt hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir dazu folgende Gedanken gemacht: Da die Funktion auf der x-Achse jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt hat, muss sie insgesamt mindestens 4 Extrema haben. Also muss die Funktion mindestens 5. Grades sein. Ich kann Punktsymmetrie annehmen, also nur noch 3 Unbekannte.

Durch den  Punkt (1 / 0) erhalte ich:                       0 = a+b+c

Durch den Hochpunkt (1. Ableitung) erhalte ich:     0 = 5a+3b+c

Jetzt habe ich 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Ich wähle eine Unbekannte frei, da ja nur eine von vielen Funktionsgleichungen zu finden ist. Ich subtrahiere die beiden Gleichungen voneinander und wähle a=2. Dann erhalte ich b=-4 und c=2

Somit wäre f(x) = 2x⁵ - 4x³  + 2x

Kann jemand meine Rechnung bestätigen oder gibt es noch einen anderen Lösungsweg?

Answer 1

Hoch- und Tiefpunkt vertauscht?
Alternativer Ansatz: ƒ(x) = (-x)·(x - 1)²·(x + 1)².

Comments

Ja, du hast Hoch- und Tiefpunkt vertauscht.

ƒ(x) = x·(x - 1)2·(x + 1)2 wäre auch eine Lösung.

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Du solltest dir mal die Graphen ansehen. Vielleicht fällt dir dann was auf.

Answer 2

Bei deiner Funktion sind Hoch- und Tiefpunkte
vertauscht.
Wieso eine Funktion 5.Grades ?

Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f, deren Graph im Punkt (1 / 0) einen Hochpunkt und im Punkt (-1 / 0) einen Tiefpunkt hat.

f ( 1 ) = 0
f ´ ( 1 ) = 0
f ( -1 ) = 0
f ´ (-1 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´  ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

Geht gleich weiter.

Comments

Geht gleich weiter.

Da bin ich aber gespannt...

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An sich ist der Ansatz gut.

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So gehts doch nicht.
Morgen geht es weiter.

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Alle 3 hier angeführten Angaben
mit niedrigeren / höheren Tief-
und Hochpunkten ergeben
sinnvolle Funktionen.

f ( 1 ) = 1
f ' ( 1 ) = 0
f ( -1 ) = -1
f ' (-1 ) = 0
f(x) = -0,5·x^3 + 1,5·x

f ( 1 ) = 0.5
f ' ( 1 ) = 0
f ( -1 ) = -0.5
f ' (-1 ) = 0
f(x) = -0,25·x^3 + 0,75·x

f ( 1 ) = 0.1
f ' ( 1 ) = 0
f ( -1 ) = -0.1
f ' (-1 ) = 0
f(x) = -0,05·x^3 + 0,15·x

Die Aufgabe mit
f ( 1 ) = 0
f ´ ( 1 ) = 0
f ( -1 ) = 0
f ´ (-1 ) = 0
leider nicht.
f ( x ) = 0

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Das hat der Frager auch bereits ausführlich und gut begründet:

Ich habe mir dazu folgende Gedanken gemacht: Da die Funktion auf der x-Achse jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt hat, muss sie insgesamt mindestens 4 Extrema haben. Also muss die Funktion mindestens 5. Grades sein.