Basis für den Vektorraum aller mit A kommutierenden Matrizen

Question

Wir betrachten die 2x2 Matrix A= (-4 1, 5 2). Berechnen Sie eine Basis für den Vektorraum U={B∈Mat2 (ℚ) | BA=AB}, aller mit A kommutierenden Matrizen.

Comments

Hallo

Welche Bedingung bekommst du denn für die Matrix B=(a b, c d) daraus kannst du leicht ne Basis machen.

Gruß lul

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Lediglich, dass es eine 2x2 Matrix ist, und BA=AB sein soll. Damit kann ich aber doch keine Basis berechnen :( ich verzweifel so an dieser Aufgabe

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Rechne die Linke Seite aus:

$$ \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Erhalte ein LGS und löse es.

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Das LGS ist doch -4a-4b+c+d

5a+5b+2c+2d und das hebt sich doch auf, nicht wahr? Damit ist das LGS nicht lösbar. Was mache ich falsch?

Answer 1

$$\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c-5b & -a-6b+d\\ 5a+6c-5d & 5b-c \end{pmatrix} $$

Also

$$ c-5b =0, \\-a-6b+d=0, \\5a+6c-5d=0,\\ 5b-c=0 $$

Comments

Oh sorry jetzt hab ich es verstanden! Hatte vergessen BA von AB zu subtrahieren. Ich habe das nun getan und die selben Werte wie du heraus bekommen, das LGS gelöst und

a,b,c,d sind alle gleich 0 laut meiner Rechnung. Heißt das nun, das keine Basis vorhanden ist? Das kann ja eigentlich nicht sein, da ja zumindest (1,0) und (0,1) die Basis bilden. Danke für deine Antwort :)

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Das kann ja eigentlich nicht sein, da ja zumindest (1,0) und (0,1) die Basis bilden.

Richtig, du hast dich wohl irgendwo verrechnet. Wenn du a und b beliebig wählst, kannst du c und d in Abhängigkeit von a und b darstellen. Es gibt also unendlich viele Matrizen die mit A kommutieren. Insbesondere solltest du zwei linear unabhängige Matrizen erhalten die U aufspannen.

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Richtig  ist davon nur der erste Halbsatz.

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Wenn ich a,b beliebig wähle, dann erhalte ich zum Beispiel für a=1 und b=2 für c 10 und für die 13. Wahre die Aufgabe damit nun gelöst? Schließlich gibt es ja unendlich viele Matrizen, die mit A kommutieren. (Sorry, wenn ich zu viele dumme Fragen stelle, ich kenne diese Art Aufgaben nur leider nicht und das verwirrt mich alles sehr. Trotzdem danke für eure schnellen Antworten!)

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Richtig  ist davon nur der erste Halbsatz.

Das stimmt allerdings. Den zweiten habe ich offenbar nicht aufmerksam gelesen.

((1,0),(0,1)) ist ein Element von U.

Zu deiner Frage:

a, b beliebig

c=5b

d=a+6b

Also haben deine Matrizen die Form

\( \begin{pmatrix} a & b \\ 5b & a+6b \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ 5b & 6b \end{pmatrix}\\=a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \)

Wie könnten jetzt die Basisvektoren von U aussehen?

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a=(1,0),(0,1)

b=(0,5),(1,6)?

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z.B.

$$ U = \textrm{Lin} \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\right) $$

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Okay, danke! Dann hab ich es jetzt verstanden!