Surjektive lineare Eigenschaft zeigen

Question

Sei K ein Körper, n ≥ 9 eine natürliche Zahl, U c K^n ein 6-dimensionaler Untervektorraum, und V c Mat3 (K) der Untervektorraum aller symmetrischen Matrizen. Zeigen Sie, dass es eine surjektive lineare Abbildung f:K^n -> Mat3(K) gibt mit der Eigenschaft f(U)=V.

Comments

EDIT: Umgeleitet, da erledigt.

Titel: Zeigen, dass beide Vektoren linear unabhängig sind

Stichworte: untervektorraum,reelle,linear-unabhängig,komplexe

Sei V ein komplexer Vektorraum und f e Homℂ(V,C) eine Linearform. Es bezeichne f (f strich) die Verkettung von f: V -> ℂ mit der komplexen Konjugation ℂ -> ℂ. Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren f, f Strich) Homℂ (V,ℂ) genau dann ℝ-linear unabgunabh sind, wenn f≠0. Hierbei fassen wir V und ℂ als reelle Vektorräume auf.

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Könntest du diese Aufgabe bitte noch einmal genauer formulieren?

Meinst du eigentlich Homℂ(V, ℂ) statt Homℂ(V, C)?

(Ein Apostroph am f ergibt f-Strich: f'.)

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(Ein Apostroph am f ergibt f-Strich: f'.)

' direkt nach dem f ist je nach Schrift(grösse) kaum zu erkennen. Daher gut, wenn hier klar geschrieben würde, was gemeint ist.

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Ein weiterer Grund, besser \(\TeX\) zu verwenden.

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entschuldigt bitte. Ich kenne mich nicht so damit aus gemeint ist tatsächlich Homℂ(V, ℂ) und f als konjugiertes (??) Also mit einem Querstrich drüber. Danke schonmal für eure Antworten

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Es bezeichne f (f strich) die Verkettung von f: V -> ℂ mit der komplexen Konjugation ℂ -> ℂ (so vollständig). Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren f, f Strich) Homℂ (V,ℂ) genau dann ℝ-linear unabgunabh sind, wenn f≠0. Hierbei fassen wir V und ℂ als reelle Vektorräume auf.

Ist unklar. Du hast hier nicht exakt abgeschrieben (?) .

Ist mit strich , quer gemeint?

Warum soll f ein Vektor sein?

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Ich habe die Aufgabe so abgeschrieben, wie ich sie bekommen habe. Kann hier ja leider keinen Screenshot posten, ich hoffe, der Ausschnitt ist okay und verdeutlicht was ich meine.



*Unabgunabh = unabhängig

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Wenn hier nicht die vollständige Frage exakt zu sehen ist, wird sich vermutlich niemand mit der Frage auseinandersetzen können/wollen.

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Ich habe die komplette Frage in der Aufgabe gepostet. Soweit ich weiß, darf ich keine Screenshots der gedruckten Aufgabe posten. Der Ausschnitt galt nur der Verdeutlichung. Wenn es okay ist, kann ich aber gerne auch die Aufgabe als Bild posten.

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@Johannes97: Willst du dich eventuell mit "LaTeX" vertraut machen? Siehe https://www.matheretter.de/rechner/latex .

Ein f mit einem Strich drüber lässt sich beispielsweise mit \bar{f} oder \overline{f} schreiben, was dann so aussieht: \( \bar{f} \) oder \( \overline{f} \).

Die komplexen Zahlen lassen sich mit \mathbb{C} schreiben, was \( \mathbb{C} \) ergibt.

Subscripts lassen sich mit einem Unterstrich realisieren, also \textrm{Hom}_{\mathbb{C}} ergibt \( \textrm{Hom}_{\mathbb{C}} \).

Tipp Nummer "1." unter https://www.matheretter.de/rechner/latex#tipps erklärt, wie LaTeX-Befehle in die Zeile eingebettet werden, in der sie geschrieben werden.

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Fürs nächste Mal weiß ich bescheid! Allerdings denke ich, ist die Frage auch so verständlich gewesen. Leider bin ich da noch keinen Schritt weiter gekommen :(

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Erkläre doch mal, was du verstanden hast. (Ich verstehe die Frage noch nicht).

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Leider absolut nichts. Deswegen habe ich die Frage ja in diesem Forum gepostet :(

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Kann ich dir vielleicht irgendwo eine Nachricht mit der Aufgabe schicken? Dann würde ich dir einen Screenshot zukommen lassen und du könntest das Original sehen

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Ich vermute, dass von denen, die offiziell Nachhilfte anbieten, z.B. Nr. 31 hier https://www.mathelounge.de/users?start=30 mit dieser Frage klar kommt.

Ansonsten kannst du im Profil der User schauen, ob du sie kontaktieren kannst. Dort sind sporadisch Kontaktdaten hinterlegt.

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@Johannes97: Ich denke, dass du die Frage besser lesbar noch einmal posten solltest und nicht bis zum nächsten Mal damit warten solltest, weil dir das bei dieser Frage ja nicht hilft, wenn du die nächste ordentlich aufschreibst.

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Ist es erlaubt,die Frage handschriftlich aufzuschreiben und zu posten?

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Beschäftige dich bitte mal mit https://www.mathelounge.de/faq und dem Beschluss, den die EU heute gefällt hat. https://www.srf.ch/news/international/neues-eu-urheberrecht-was-bedeutet-die-copyright-reform-fuer-den-user  . Falls weitere Unklarheiten bitte: https://www.mathelounge.de/feedback

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Haha, Schweizer klären uns über Beschlüsse der EU auf.

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@Johannes97: Du musst die Frage nochmal ordentlich posten.

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Ich habe in einem anderen Forum bereits Hilfe bekommen. Danke trotzdem.

Answer 1

Die Elemente M von V sehen so aus:

Es gibt abcdef ∈ K mit    M =

a   b    c
b   d     e
c   e      f

also besteht  eine Basis für V z. B . 
aus den 6 Matrizen  M1=

1      0      0
0      0      0
0      0      0

und   M2=
0      1      0
1      0      0
0      0      0

und   M3=
0      0      1
0      0      0
1      0      0

etc.

U ist 6 dimensional, also gibt es eine Basis

u1,u2,...,u6 für U.

Diese wird durch  u7, u8, ., un zu einer

Basis von K^n ergänzt.

Eine lineare Abbildung wird durch Angaben der Bilder

einer Basis festgelegt.

Definiere f:K^n → Mat₃(K) durch

f(u_i) = M_i für i ≤ 9 und

mit M7=

0    1    0
0    0    0
0    0    0

und  M8=
0    0    1
0    0    0
0    0    0

M9=
0    0    0
0    0    1
0    0    0

f(u_i) = 0-Matrix für i>9.

Dann ist f(U) = Span( M1,...,M6) = V

Und surjektiv ist es auch, da du jede symmetrische Matrix

mit M1 bis M6 darstellen kannst und alle anderen durch

Hinzunahme von M7 bis M9.

Comments

Super, das habe ich soweit verstanden. Eine Sache nur: die Matrizen M1, M2,... werden zufällig gewählt? Oder wie ist das genau?

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Die werden so gewählt, dass man mit Linearkombinationen der ersten 6 Stück

jede symmetrische Matrix darstellen kann und mit den nächsten 3 Stück daraus

dann jede Matrix vom Mat₃(K) darstellen kann