Höhe des Tetraeders bestimmen

Question

Aufgabe: Berechne die Höhe h des Tetraeders aus der Kantenlänge a. Beachte, wie der Höhenschnittpunkt H die Seitenhalbierende im Dreieck teilt

Problem/Ansatz: a² = h² + (2/3 h_a  )²  und dann? Oder ist schon der allererste Ansatz falsch? 

Answer 1

Hallo Kirsten,

Ich komme einfach nicht darauf, wie Du auf
h_a²  + (a/2)² = a²  kommst

Habe dir das Tetraeder perspektivisch anders gezeichnet. Alle Seiten (also auch BC) des Tetraeders haben die Länge a  →  MC = a/2



Dreieck MCS ist rechtwinklig mit der Hypotenuse a (gegenüber dem rechten Winkel).

Diese Formel  oben ergibt sich also direkt aus dem Satz von Pythagoras.

→ h_a = √3/2·a

Im rw. Dreieeck AHS gilt 

h² = a² - AH²  =  a² -  (2/3 * h_a)²  = a² - (2/3 * √3/2·a)²  = 2/3 ·a²

→   h = √(2/3) · a  =  √(6/9) · a  = √6 · a/3

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

also erst einmal vielen Dank für Deine ausführliche  Darstellung. Anhand Deiner Zeichnung war mir auch schnell klar, wie die Aussage     ha² + (a/2)² = a²     zustande kommt.

Kannst Du mir aber zum Abschluss noch Deinen letzten Schritt erklären:

h = √(6/9) * a = √6 * a/3    ?

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√(6/9) * a = √6/√9 * a = √6/3 * a  = √6 * a/3

Welche Form der beiden letzten Ausdrücke für h man nimmt ist natürlich egal.

Answer 2

ha^2 + (a/2)^2 = a^2 --> ha = √3/2·a

(2/3·ha)^2 + h^2 = a^2

(2/3·√3/2·a)^2 + h^2 = a^2  → h = √6/3·a

Comments

Leider kann ich Dir nicht recht folgen. Kannst Du vielleicht ein paar Zwischenschritte "einbauen"?

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Ich dachte eigentlich du nimmst mal meinen Ansatz und probierst die notwendigen Umformungen selber vorzunehmen.

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Was verstehst du nicht. Es ist eigentlich alles Pythagoras. In der Skizze ist freundlicherweise angegeben, dass der schnittpunkt der Höhen im gleichseitigen Dreieck diese im Verhältnis 1/3 zu 2/3 teilt. So dass man sehr einfach einen Pythagoras bilden kann mit dem Stück das unten im Boden des tetraeders liegt und 2/3*h_{a} lang ist. h_{a} muss man freilich zuerst bestimmen.

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das habe ich gestern Abend auch getan. Anders als offenbar der Eindruck entstanden ist, gucke ich über die Antworten zu meinen Fragen nicht kurz drüber, sondern versuche schon, sie durch eigene Rechnung nachzuvollziehen bzw. weiterzurechnen.

Genau wie gestern Abend, brüte ich jetzt aber wieder über der ersten Zeile. Ich komme einfach nicht darauf, wie Du auf

h_a ²k  + (a/2) ² = a²   kommst

Wenn ich allerdings Deine Zeile so übernehme und damit rechne, komme ich  für ha auch auf Dein Ergebnis. Nur verstehe ich leider nicht, wie Du zur ersten Zeile kommst.

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Für h komme ich aber auf ein anderes Ergebnis:

h = √(a² -1/3a²)

h = √(3/3a² - 1/3a²)

h = √(2/3) a²

h = √(2/3)a

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Die Zeile zur Berechnung von h_{a} ergibt sich durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf einer Seitenfläche oder der bodenfläche. Die Höhe h_{a} teilt die Seite a in zwei gleiche Hälften also a/2. Da die Höhe h_{a} senkrecht auf der Seite a steht, ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, so dass man den Pythagoras anwenden kann. Die dritte Seite in dem Dreieck ist die Seite a, so dass man bilden kann h_{a}^2=a^2-(a/2)^2

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Deine Rechnung zu h ist falsch. Wie kommst du auf das 1/3a^2?

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Mein Ergebnis mag zwar nicht das Endergebnis sein, aber ich sehe nicht, warum es gleich falsch sein sollte, da Wolfgang (zumindest als vorletzten Schritt) das gleiche Ergebnis hat, also h = √(2/3) a

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Das dürfte dann eher Zufall sein. Oder kannst du erklären woher das 1/3a^2 kommt?

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(2/3·√3/2·a)^2 = 1/3·a^2

Das ist also so richtig.

Es wäre allerdings schön gewesen, wenn du halt erklärst woher du das hast. Aber vermutlich hast du das eben vorher bestimmt.

Und das Endergebnis ist auch richtig. Man macht den Nenner bei Brüchen meist rational, daher

√(2/3)·a = √(6/9)·a = √6/3·a

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vielen Dank für die Rückmeldung.

Zum Endergebnis: Alles klar, leuchtet ein (auch wenn ich leider erst einmal nachsehen musste, was es heißt, "den Nenner rational zu machen")

Zu meiner Rechnung: Ganz genau, die hier von mir dargestellte Rechnung umfasst tatsächlich nur die letzten Zeilen.