Aufgabe:
Vektoren aus dem Vektorraum ℝ³
Gilt
a.) $$span(u,x,v,w) = span(u,v,w,x)?$$
b.) $$span(u,v,w,x) = span(2u,v,-2w,x)?$$
c.) $$span(u,v,w) = span(u,v,w,(0,0,0,0)^T)?$$
d.) $$span(u,v,w,x) = span(v,w,x)?$$
e.) $$span(u,v,w,x) = span(u,v,w)?$$
Problem/Ansatz:
a.) Ich weiß, dass man Vektoren vertauschen darf, da sich ja die Menge der Vektoren dadurch nicht ändert.
Aber ich wüsste nicht wie man das Formal zeigen/beweisen soll?
b.) Hier würde ich sagen, es ist nicht dasselbe. Es ist nur eine Teilmenge davon.
$$\alpha_1 \cdot u+\alpha_2 \cdot v+\alpha_3 \cdot w +\alpha_4 \cdot x =$$
$$=\frac{\alpha_1 }{2}\cdot 2u+\alpha_2 \cdot v-\frac{\alpha_3}{-2} \cdot 2w+\alpha_4 \cdot x = $$
$$\neq \alpha_1 \cdot 2u+\alpha_2 \cdot v-\alpha_3 \cdot 2w+\alpha_4 \cdot x $$
c.) Der Nullvektor ist eigentlich aus dem ℝ4 . Oder macht das nix, weil in der 4. Ebene nur eine null steht ?
Ich würde sagen, ja es stimmt, weil der Vektor ohnehin keine Information enthält, kann man ihn aber weglassen.
$$ \alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w = \alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w + \alpha_4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =$$
$$=\alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Weil:
$$ \alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in span(u,v,w) $$
$$ \alpha_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \forall \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in K $$
d.) gleiche problem wie in a.)
e.) gleiche problem wie in a.)
