Gerade verläuft durch Ursprung und berührt Punkt B( a | f(a) )

Question

Aufgabe:

Genau eine Gerade g verläuft durch den Koordinatenursprung O und berührt den Graphen der Funktion f im Punkt B(a|f(a)) (a> 0).

\(f= - \frac{x^{2}}{10}*(x-6) \)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes B und geben Sie die Gleichung der Geraden g an.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf den Punkt a? In GeoGebra kommen ellenlange Kommazahlen raus.

Answer 1

Die gesuchte Gerade verläuft also durch den Punkt (0;0) und einen noch konkret zu findenden
Punkt (x; -0,1x³+0,6x²) .

Sie hat damit den Anstieg \(\frac{-0,1x³+0,6x²-0}{x-0}\).

Da sie den Graphen in dem bewussten Punkt berührt, ist sie Tangente in diesem Punkt und hat damit den Anstieg

 f '(x)= -0,3x²+1,2x.

Das ist der gleiche Anstieg, nur auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt.

Setze also  \(\frac{-0,1x³+0,6x²}{x}= -0,3x²+1,2x\) und löse.

Answer 2

Die Tangentensteigung an der Stelle a lautet ja

y = f'(a)·(x - a) + f(a)

Damit die Tangente durch den Punkt (0 | 0) geht müssen x und y also Null sein

0 = f'(a)·(0 - a) + f(a)

0 = -a·f'(a) + f(a)

a·f'(a) = f(a)

Das ist jetzt also fast die Formel die abakus verwendet nur über die Tangentengleichung hergeleitet. Wenn ich meine Gleichung durch a teile und a in x umbenenne siehst du das besser.

f'(a) = f(a)/a

f'(x) = f(x)/x