in einer Klammer erst Subtraktion oder Potenzierung?

Question

Aufgabe:

Ich dachte immer, dass man zuerst potenziert, dann Punkt-Rechnung und dann strich-Rechnung. Zum Beispiel bei 8/3 * (1/2 - 3/8)^2 erst 1/2 dann 3/8 potenzieren und dann subtrahieren und wenn die Klammer ausgerechnet ist mit 8/3 multiplizieren. Aber in meinem Lösungsheft berechnen die erst die Differenz beider Brüche, potenzieren es erst dann und multiplizieren mit dem Faktor vor der Klammer. Dabei kommen zwei verschiedene Werte raus. Was ist das richtige? Denn hier kann man ja den Bruch „auseinanderziehen“: aus 5y^2-45/(y-3) wird 5y^2/y - 45/(-3)

Problem/Ansatz:

Answer 1

KlaPoPuS (Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich)

Klammer geht vor allem anderen

Und auch bei dem Nächsten machst du einen riesigen Fehler

(5·y^2 - 45)/(y - 3) ≠ 5·y^2/y - 45/(-3)

(5 - 3) / (10 - 3) = 2 / 7

oder

(5 - 3) / (10 - 3) = 5/10 - 3/(-3) = 1/2 + 1 = 1.5

Die untere Gleichung ist natürlich verkehrt.

Comments

Ok, danke! Aber wann darf ich denn einen Bruch "auseinanderziehen"?

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(a * b)/(c * d) = a/c * b/d

oder

(a + b)/(b + d) = a/(b + d) + b/(b + d)

Answer 2

Zum Beispiel bei 8/3 * (1/2 - 3/8)²

Falls im Inneren der Klammer etwas gerechnet werden kann, ist es zweckmäßig, das zuerst zu tun:

1/2 - 3/8=4/8-3/8=1/8.

Dann heißt die Beispielaufgabe  8/3 * (1/8)²=\( \frac{8}{3} \) ·\( \frac{1}{8*8} \) =\( \frac{1}{3} \) ·\( \frac{1}{8} \) =\( \frac{1}{24} \) .

Falls im Inneren der Klammer nicht gerechnet werden kann, zum Beispiel bei 8/3 * (a - 3)² muss die Klammer vor der Punktrechnung bearbeitet werden (hier binomische Formel): 8/3·(a²-6a+9). Die Klammer bleibt vorerst erhalten und wird jetzt durch das Distributivgesetz aufgelöst: 8/3·a²-16a+24.