Analysis, Ableitungen, ganzrationale Funktion

Question

Aufgabe:

Funktion:

f(x) = 1/2x^4-4x^2+7/2

Der Graph von f ist G

1. Nullstellen von f und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f. Art der Extrema und die nötigen Ableitungen.


2. Ermitteln Sie Gleichungen der Tangenten an G in den Punkten B1(-√3/f(-√3)) B2 (√3/f√3))

Answer 1

Nullstellen von f

Löse die Gleichung

        1/2x⁴-4x²+7/2 = 0.

Das geht zum Beispiel mit der Substition z = x², weil es eine sogenannte biquadratische Gleichung ist.

Extrempunkte des Graphen von f

f'(x) = 2x³ - 8x.

Löse die Gleichung

        2x³ - 8x = 0.

Das geht zum Beispiel mit Ausklammern

        2x·(x² - 4) = 0

und dem Satz vom Nullprodukt

        2x = 0 ∨ x² -4 = 0.

Du hast nun die Stellen, an denen G eine horizontale Tangente hat. Nur an diesen Stellen können Extrempunkte auftreten. Finde heraus, ob es sich tatsächlich um Extrempunkte handelt (und nicht um Sattelpunkte). Das machst du mit einer Vorzeichentabelle oder indem du die gefundenen Stellen in die zweite Ableitung einsetzt.

Ermitteln Sie Gleichungen der Tangenten an G in den Punkten B1(-√3/f(-√3)) B2 (√3/f√3))

Die Tangente ist eine lineare Funktion, hat also die Funktionsgleichung

(1)        t(x) = mx + n.

Du musst m und n bestimmen. Dazu formuliert man die Egenschaften der Tangente als Gleichungen:

1. Die Tangente hat an der betrachteten Stelle die gleiche Steigung wie die Funktion, also

           t'(-√3) = f'(-√3).

   Wegen t'(-√3) = m und f'(-√3) = 2·(-√3)³ - 8·(-√3) gilt demanch

   (2)        m = 2·(-√3)³ - 8·(-√3).

2. Die Tangente hat an der betrachteten Stelle den gleichen Funktionswert wie die Funktion, also

           t(-√3) = f(-√3).

   Wegen t(-√3) = m·(-√3) + n und f(-√3) = 1/2·(-√3)⁴-4·(-√3)²+7/2  gilt demanch

   (3)        m·(-√3) + n = 1/2·(-√3)⁴-4·(-√3)²+7/2.

   Setze (2) in (3) ein und löse die Gleichung. Setze die Lösung und (2) in (1) ein.

Answer 2

f(x) = 1/2·x^4 - 4·x^2 + 7/2 = 0.5·x^4 - 4·x^2 + 3.5

f'(x) = 2·x^3 - 8·x

f''(x) = 6·x^2 - 8

Nullstellen f(x) = 0

0.5·x^4 - 4·x^2 + 3.5 = 0

0.5·z^2 - 4·z + 3.5 = 0

z = 7 → x = ± √7

z = 1 → x = ± 1

Extrempunkte f'(x) = 0

2·x^3 - 8·x = 2·x·(x^2 - 4) = 0 --> x = 0 ∨ x = ± 2

f(-2) = -4.5 → TP(-2 | -4.5)

f(0) = 3.5 → HP(0 | 3.5)

f(2) = -4.5 → TP(2 | -4.5)

Tangente

t(x) = f'(√3)*(x - √3) + f(√3) = 2 - 2·√3·x

Die andere Tangente ist nicht schwer, weil f(x) ja eine achsensymmetrische Funktion ist.